Wasserstein 距离与目标检测（二）：Gaussian 框距离、表示方法与相关损失

⏱ 约 67 分钟

本文整理于2026年10月08日，由AI和本人共同完成，本人负责把推导详细顺了一遍

前言

本文接续第一篇：二维 Gaussian 分布 Wasserstein 距离的推导及其在目标检测中的应用。第一篇从耦合定义出发，完整证明了 Gaussian 的二阶 Wasserstein 距离，并逐步解释 GWD、NWD 和 EWD ¹²³。本篇把问题推进一步：如果仍把框编码成 Gaussian，但把比较方式换成 KLD、Bhattacharyya/Hellinger 或 Gaussian product，会得到什么？ 如果问题来自表示而非距离，又应该怎样修改检测头？如果不经过 Gaussian 编码，能否直接比较 多边形几何？下文围绕这些问题，逐步串起距离、表示与最终损失之间的关系。

记号与第一篇一致：均值只写作 \(\mu\)，协方差写作 \(\Sigma\)；预测与真值分别使用下标 \(p,g\)； 一般的两个分布使用下标 \(1,2\)。因此下文对论文公式做了等价改写，不机械保留原文中的 \(m\)、\(t\) 或含混的 \(W\)。这只统一表示，不改变被引用方法的数学内容。

零、方法概览

一个定位损失至少有四层：

GWD、NWD 和 EWD 分别位于这条链的不同位置 ¹²³。扩展论文也不能只按名称比较：

方法	表示层	基础量	最终用途
GWD 1	整框 Gaussian	精确 Gaussian \(W_2^2\)	OBB 回归
NWD/NWD-RKA 29	水平框 Gaussian	精确 \(W_2\)	相似度、回归、分配、NMS
EWD 3	四条边的支撑分布	受边对应约束的运输代理	OBB 回归
KLD 4	整框 Gaussian	有方向的 KL 散度	OBB 回归
ProbIoU 5	区域二阶矩 Gaussian	Bhattacharyya/Hellinger	有界相似度与回归
KFIoU 6	整框 Gaussian	Gaussian product 的体积代理	近似 SkewIoU
MKIoU 7	同 KFIoU，外加角度项	调制后的 KFIoU	OBB 回归
G-Rep 8	任意点集的 MLE Gaussian	KLD、BD 或 WD	QBB/点集回归与分配
LGBB/GauCho 1113	直接回归矩阵坐标	可搭配多种 Gaussian loss	改造检测头
Structure Tensor 12	人工各向异性张量	元素级 \(L_1\)	单独的角度分支
GCD 14	水平框 Gaussian 参数	对称、相对归一的代理	微小水平框相似度
P2P 15	凸多边形	三角形面积和	直接几何回归

因此，“使用 Gaussian”不等于“使用 Wasserstein”。同一个 Gaussian 表示可以搭配不同的 比较基础量；把某个相似度用于标签分配，也不等于重新定义了框之间的距离。

0.1 阅读前先认识计算链上的对象

先用一个具体场景理解上表。图像里有一个人工标注框，检测器也输出了一个预测框。训练时，我们先把网络输出解码成中心、宽高和角度，再比较预测与标注；损失越大，表示这一对框在选定标准下偏差越大。这里的 GT（ground truth） 就是真值标注；HBB 是水平框；OBB 是允许旋转的矩形框；QBB 是用四个顶点表示的四边形框，未必是矩形。Anchor 是预先设置的参考框，后文统称需要判断“归哪个真值负责”的框为候选框。并非所有检测器都使用 anchor。

因此，图 0-1 可以不用看图就读成：

\[ \text{框参数}\longrightarrow\text{几何或概率编码} \longrightarrow\text{比较基础量}\longrightarrow\text{相似度或训练损失}. \tag{0.1} \]

例如，NWD 先把框变成 Gaussian，再算 \(W_2\)，最后算 \(\exp(-W_2/C)\)。最后这个数越大越相似， 而回归时通常希望“越差损失越大”，所以还要取 \(1-\exp(-W_2/C)\)。相似度、距离与损失虽然可能 能相互换算，但不是同一个数学对象。标签分配则更早一步：决定哪些预测框参与哪一个真值的回归。 第 7.1 节的 NWD-RKA 讨论的就是这个问题，而非又定义一个定位损失。

0.2 本文反复使用的矩阵记号

二维 Gaussian 写成 \(\mathcal N(\mu,\Sigma)\)。均值 \(\mu\) 是两个中心坐标，协方差 \(\Sigma\) 是一个对称的 \(2\times2\) 矩阵：对角线描述沿两个坐标轴的离散程度，非对角线描述两个 坐标怎样共同变化。对框来说，它是我们主动选择的形状编码，不意味着网络估计了定位不确定性。

后文几种记号可以先用二维情形记住：

\[ \Sigma=\begin{bmatrix}a&c\\c&b\end{bmatrix},\qquad \operatorname{Tr}(\Sigma)=a+b,\qquad \det\Sigma=ab-c^2. \tag{0.2} \]

\(\operatorname{Tr}\) 称为迹，是对角线元素之和；\(\det\) 是行列式，有时也写作 \(|\Sigma|\)， 此处不是逐元素取绝对值。\(\Sigma\succ0\) 表示正定，即任何非零向量 \(z\) 都满足 \(z^\top\Sigma z>0\)；二维时等价于 \(a>0,ab-c^2>0\)。这个条件保证 Gaussian 在任何方向都有正的 宽度，也保证逆矩阵和后面的对数行列式有意义。\(I\) 表示单位矩阵，\(\top\) 表示转置。

把坐标轴转到椭圆主轴后，协方差成为对角矩阵；对角线上两个数就是特征值，平方根才是两个方向的 标准差。若坐标单位是像素，\(\mu\)、标准差和 \(W_2\) 的单位是像素，协方差元素和 \(W_2^2\) 的单位是 像素平方。\(\Sigma^{-1}\) 则负责除去尺度：\(z^\top\Sigma^{-1}z\) 是无量纲的加权平方误差。

本文 \(\log\) 均为自然对数，\(\exp\) 是它的反函数。对数中的密度比、行列式比等最终应是无量纲量。 对单个有单位的行列式分别取对数，只是合并对数比的代数写法；不要把其中一项单独当作具有坐标 无关含义的损失。矩阵乘法的次序也必须保留，通常 \(AB\ne BA\)。

一、先固定共同表示：同一个框至少有两种 Gaussian 映射

1.1 几何等密度椭圆映射：\(1/4\)

从这一章开始，先不讨论谁的损失更好，而是固定“同一个框到底变成什么分布”。否则，两篇论文的结果可能只是编码不同，并非比较公式不同。设框的局部坐标轴沿着两条边，先在局部坐标中规定 Gaussian 的宽度，再旋转和平移到图像坐标。

设旋转框

\[ B=(c_x,c_y,w,h,\theta),\qquad w,h>0, \]

旋转矩阵为

\[ R_\theta= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}. \tag{1.1} \]

GWD、KLD、KFIoU 等旋转检测工作常采用下面的映射；NWD 使用其 \(\theta=0\) 的水平框情形：

\[ \mu=\begin{bmatrix}c_x\\c_y\end{bmatrix},\qquad \Sigma_{1/4} =R_\theta \begin{bmatrix}w^2/4&0\\0&h^2/4\end{bmatrix} R_\theta^\top. \tag{1.2} \]

这里先取局部随机向量 \(Z\)，令其均值为 0、协方差为 \(D=\operatorname{diag}(w^2/4,h^2/4)\)，再令 \(X=\mu+R_\theta Z\)。根据协方差的定义，

\[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X) &=\mathbb E[(X-\mu)(X-\mu)^\top]\\ &=\mathbb E[R_\theta ZZ^\top R_\theta^\top] =R_\theta\mathbb E[ZZ^\top]R_\theta^\top =R_\theta D R_\theta^\top. \end{aligned} \tag{1.2a} \]

这解释了式 (1.2) 为什么在对角矩阵左右各放一个旋转因子。式中的 \(w/2,h/2\) 是沿框的主轴的 标准差；框旋转后，它们一般不再等于图像 \(x,y\) 坐标方向的标准差。

因为 \(\Sigma_{1/4}\) 的两个标准差是 \(w/2\) 与 \(h/2\)，Mahalanobis 等值线

\[ (x-\mu)^\top\Sigma_{1/4}^{-1}(x-\mu)=1 \]

恰好具有半轴 \(w/2,h/2\)。这是几何编码约定，不是说矩形内部像素真的按 Gaussian 采样 ¹²⁴⁶。

1.2 均匀矩形的二阶矩映射：\(1/12\)

ProbIoU 的出发点不同：先把矩形区域上的均匀分布压缩成具有相同均值、协方差的 Gaussian ⁵。 在一维上令

\[ X\sim\operatorname{Unif}[-w/2,w/2]. \]

其均值为

\[ \mathbb E[X] =\frac1w\int_{-w/2}^{w/2}x\,\mathrm dx=0, \tag{1.3} \]

方差为

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\mathbb E[X^2] =\frac1w\int_{-w/2}^{w/2}x^2\,\mathrm dx\\ &=\frac1w\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-w/2}^{w/2} =\frac1w\frac{2(w/2)^3}{3} =\frac{w^2}{12}. \end{aligned} \tag{1.4} \]

矩形局部坐标的两个分量独立，故其协方差为

\[ \Sigma_{1/12} =R_\theta \begin{bmatrix}w^2/12&0\\0&h^2/12\end{bmatrix} R_\theta^\top. \tag{1.5} \]

校正：改变协方差的公共倍数，不等于共同缩放坐标。 式 (1.2) 与式 (1.5) 的协方差相差 因子 \(3\)，但它们的中心不变。对 KLD 和 Bhattacharyya 距离，公共因子只在形状比较项中抵消， 在中心误差项中并不抵消。两框同中心时整个量才不受这一公共协方差因子影响。

为了看清区别，暂写 \(\Sigma_i=sS_i\)，其中 \(S_i\) 固定。第 2、3 章将分别推出

\[ \begin{aligned} D_{\rm KL}(P\|G) &=\underbrace{\frac12\left[ \operatorname{Tr}(S_g^{-1}S_p)-d+ \log\frac{\det S_g}{\det S_p}\right]}_{\text{形状项，与 }s\text{ 无关}} +\frac1{2s}\Delta\mu^\top S_g^{-1}\Delta\mu,\\ D_B(P,G) &=\underbrace{\frac12\log\frac{\det\bar S} {\sqrt{\det S_p\det S_g}}}_{\text{形状项，与 }s\text{ 无关}} +\frac1{8s}\Delta\mu^\top\bar S^{-1}\Delta\mu, \qquad \bar S=\frac{S_p+S_g}{2}. \end{aligned} \tag{1.5a} \]

这里 \(\Delta\mu=\mu_p-\mu_g\)，\(d=2\)。暂时不需要记住整个公式，只需看到中心项前面还留着 \(1/s\)：将 \(s\) 从 \(1/4\) 改为 \(1/12\)，相同中心误差受到的惩罚变为原来的三倍。

例如，两个 \(2\times2\) 水平框的中心分别为 \((0,0)\) 和 \((1,0)\)。用 \(1/4\) 映射时，两协方差都是 \(I\)，得到 \(D_{\rm KL}=1/2,D_B=1/8\)；用 \(1/12\) 映射时，两协方差都是 \(I/3\)，得到 \(D_{\rm KL}=3/2,D_B=3/8\)。这是一组无需矩阵运算就能核查的反例。

真正的共同坐标缩放是 \(\mu_i\mapsto a\mu_i\)、\(\Sigma_i\mapsto a^2\Sigma_i\)，中心误差也同时 缩放，此时 KLD、Bhattacharyya 距离才保持不变。\(W_2\) 则变为原来的 \(|a|\) 倍。单独改变编码中的 \(s\) 一般也会改变 \(W_2\) 的形状项，但并非所有例子都会改变：上面两框只有平移，\(W_2=1\)，与 \(s\) 无关。实现时不能混用两种映射后仍声称得到了同一论文公式。

1.3 一个统一参数 \(s\)

后文可把二者写成

\[ \Sigma_s =R_\theta\operatorname{diag}(s w^2,s h^2)R_\theta^\top, \qquad s\in\left\{\frac14,\frac1{12}\right\}. \tag{1.6} \]

于是

\[ \det\Sigma_s=s^2w^2h^2, \qquad \Sigma_s^{-1} =R_\theta\operatorname{diag} \left(\frac1{s w^2},\frac1{s h^2}\right)R_\theta^\top. \tag{1.7} \]

这些恒等式会反复用于 KLD、Bhattacharyya 和 Gaussian product 的推导。

1.4 不可能性定理：整框二阶矩无法恢复正方形角度

定理 1.1（各向同性造成方向不可辨）。若 \(w=h=a\)，则任何只依赖 \((\mu,\Sigma_s)\) 的函数都不能区分同中心、同尺寸、不同角度的正方形。

证明。 此时

\[ \Sigma_s =R_\theta(sa^2I)R_\theta^\top =sa^2R_\theta R_\theta^\top =sa^2I, \tag{1.8} \]

与 \(\theta\) 无关。若两个正方形只有角度不同，则它们的 \(\mu\) 与 \(\Sigma_s\) 完全相同。对任意函数 \(F(\mu_1,\Sigma_1,\mu_2,\Sigma_2)\)，输入相同必然输出相同，故不可能从输出反推出角度。证毕。

这个结论与选用 \(W_2\)、KLD、Hellinger 还是 Gaussian product 无关。MKIoU、EWD、Structure Tensor 和 anisotropic GBB 的共同动机，正是绕开式 (1.8) 的信息丢失 ³⁷¹²¹⁶。

二、KLD：同一 Gaussian 表示，换成有方向散度

2.1 定义与方向

上一章固定了 Gaussian 编码，现在只替换“怎么比较”。Wasserstein 的问题是把一个分布搬成另一个要付出多少成本；KLD 换了一个问题：从 \(P\) 中经常出现的位置来看，\(Q\) 对这些位置给出的密度是否也足够大？ 因此它并不需要求运输计划。

在某个位置，\(p(x)/q(x)\) 表示两个密度的相对大小；对数把相乘的比例变为可相加的差异。再用 \(p(x)\) 加权，表示按照 \(P\) 的出现频率求平均。单个位置的对数比可以为负，但整个平均值非负。

对密度 \(p,q\)，Kullback--Leibler 散度定义为 ¹⁷

\[ D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) =\int p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)}\,\mathrm dx =\mathbb E_{X\sim P}\left[\log\frac{p(X)}{q(X)}\right]. \tag{2.1} \]

它一般不对称：\(D_{\mathrm{KL}}(P\|Q)\ne D_{\mathrm{KL}}(Q\|P)\)，所以数学上称“散度”而非 “距离”。旋转检测论文分别讨论 prediction-to-target 与 target-to-prediction 两个方向，主设置通常 选择前者 ⁴。

2.2 \(d\) 维 Gaussian KLD：逐项积分

令

\[ P=\mathcal N(\mu_p,\Sigma_p),\qquad G=\mathcal N(\mu_g,\Sigma_g), \]

其中协方差正定。\(d\) 维 Gaussian 密度是

\[ p(x)=\frac{ \exp[-\frac12(x-\mu_p)^\top\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)] }{(2\pi)^{d/2}\det(\Sigma_p)^{1/2}}, \tag{2.2} \]

\(g(x)\) 同理。先取对数比：

\[ \begin{aligned} \log\frac{p(x)}{g(x)} ={}&\frac12\log\frac{\det\Sigma_g}{\det\Sigma_p} -\frac12(x-\mu_p)^\top\Sigma_p^{-1}(x-\mu_p)\\ &+\frac12(x-\mu_g)^\top\Sigma_g^{-1}(x-\mu_g). \end{aligned} \tag{2.3} \]

下面对 \(X\sim P\) 求期望。先解释为什么要改变二次型的写法。

这里会出现“随机向量的二次型”。先解释为什么要把它改写成迹：\(z^\top Az\) 是一个标量，而 \(zz^\top\) 是矩阵，后者的期望恰好能用协方差表示。下面的改写就是把复杂积分交给已经知道的均值和协方差，不是引入一个新的近似。

\[ z^\top A z=\operatorname{Tr}(z^\top A z) =\operatorname{Tr}(Azz^\top), \tag{2.4} \]

得到

\[ \begin{aligned} \mathbb E[(X-\mu_p)^\top\Sigma_p^{-1}(X-\mu_p)] &=\operatorname{Tr}\left( \Sigma_p^{-1}\mathbb E[(X-\mu_p)(X-\mu_p)^\top] \right)\\ &=\operatorname{Tr}(\Sigma_p^{-1}\Sigma_p) =\operatorname{Tr}(I_d)=d. \end{aligned} \tag{2.5} \]

令 \(\Delta\mu=\mu_p-\mu_g\)，则

\[ X-\mu_g=(X-\mu_p)+\Delta\mu. \]

展开第三个二次型：

\[ \begin{aligned} &(X-\mu_g)^\top\Sigma_g^{-1}(X-\mu_g)\\ ={}&(X-\mu_p)^\top\Sigma_g^{-1}(X-\mu_p) +2\Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}(X-\mu_p) +\Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}\Delta\mu. \end{aligned} \tag{2.6} \]

因为 \(\mathbb E[X-\mu_p]=0\)，中间交叉项期望为 0；第一项按式 (2.4) 处理：

\[ \mathbb E[(X-\mu_p)^\top\Sigma_g^{-1}(X-\mu_p)] =\operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p). \tag{2.7} \]

将式 (2.5)--(2.7) 代入式 (2.3)：

\[ \boxed{ D_{\mathrm{KL}}(P\|G) =\frac12\left[ \operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p) +\Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}\Delta\mu -d +\log\frac{\det\Sigma_g}{\det\Sigma_p} \right]. } \tag{2.8} \]

二维时 \(d=2\)，所以论文公式末尾是 \(-1\)：外层 \(1/2\) 乘上括号中的 \(-2\) ⁴。

2.3 为什么 KLD 非负

非负性不需要 Gaussian 假设。这里先在密度处处为正的情形证明，因而覆盖本文的非退化 Gaussian。 令 \(f(u)=u-1-\log u\)。它的导数是 \(f'(u)=1-1/u\)，在 \(0<u<1\) 时为负，在 \(u>1\) 时为正， 所以 \(u=1\) 是全局最小点，且 \(f(1)=0\)。这就得到下面的不等式。

使用基本不等式

\[ \log u\le u-1,\qquad u>0. \tag{2.9} \]

令 \(u=q(x)/p(x)\)，则

\[ -\log\frac{q(x)}{p(x)} \ge 1-\frac{q(x)}{p(x)}. \]

两边乘 \(p(x)\) 并积分：

\[ \begin{aligned} D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) &=\int p(x)\left[-\log\frac{q(x)}{p(x)}\right]\mathrm dx\\ &\ge\int[p(x)-q(x)]\,\mathrm dx =1-1=0. \end{aligned} \tag{2.10} \]

式 (2.9) 只在 \(u=1\) 取等，因此在两密度互相绝对连续时，KLD 为 0 当且仅当 \(p=q\) 几乎处处。

2.4 旋转框标量展开

采用式 (1.2)，即

\[ \Sigma_g =R_g\operatorname{diag}(w_g^2/4,h_g^2/4)R_g^\top. \]

由于 \(R_g^{-1}=R_g^\top\)，

\[ \Sigma_g^{-1} =R_g\operatorname{diag}(4/w_g^2,4/h_g^2)R_g^\top. \tag{2.11} \]

把中心误差旋转到真值框的局部坐标：

\[ R_g^\top\Delta\mu =\begin{bmatrix} \Delta x\cos\theta_g+\Delta y\sin\theta_g\\ -\Delta x\sin\theta_g+\Delta y\cos\theta_g \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\Delta u\\\Delta v\end{bmatrix}. \tag{2.12} \]

于是 Mahalanobis 项为

\[ \boxed{ \Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}\Delta\mu =\frac{4\Delta u^2}{w_g^2}+\frac{4\Delta v^2}{h_g^2}. } \tag{2.13} \]

这说明沿真值长轴和短轴的同样像素偏差会得到不同权重。

再令

\[ \Delta\theta=\theta_p-\theta_g,\qquad Q=R_g^\top R_p=R_{\Delta\theta}. \]

利用迹的循环不变性：

\[ \begin{aligned} \operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p) &=\operatorname{Tr}\left[ \operatorname{diag}(4/w_g^2,4/h_g^2) Q\operatorname{diag}(w_p^2/4,h_p^2/4)Q^\top \right]. \end{aligned} \tag{2.14} \]

把“直接相乘”的关键一步展开。令 \(c=\cos\Delta\theta,t=\sin\Delta\theta\)，先只计算中间 旋转后的预测协方差的两个对角元素：

\[ \begin{aligned} [Q\operatorname{diag}(w_p^2/4,h_p^2/4)Q^\top]_{11} &=(w_p^2c^2+h_p^2t^2)/4,\\ [Q\operatorname{diag}(w_p^2/4,h_p^2/4)Q^\top]_{22} &=(w_p^2t^2+h_p^2c^2)/4. \end{aligned} \tag{2.14a} \]

左边再乘对角矩阵，相当于分别将这两个元素乘以 \(4/w_g^2\) 和 \(4/h_g^2\)；求迹就是相加。非对角元素不进入这次求迹，因此不用把四个元素都算出来。

直接乘开 \(2\times2\) 矩阵，得到

\[ \boxed{ \begin{aligned} \operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p) ={}&\left(\frac{w_p^2}{w_g^2}+\frac{h_p^2}{h_g^2}\right) \cos^2\Delta\theta\\ &+\left(\frac{h_p^2}{w_g^2}+\frac{w_p^2}{h_g^2}\right) \sin^2\Delta\theta. \end{aligned} } \tag{2.15} \]

最后由式 (1.7)：

\[ \log\frac{\det\Sigma_g}{\det\Sigma_p} =\log\frac{w_g^2h_g^2}{w_p^2h_p^2} =2\log\frac{w_g}{w_p}+2\log\frac{h_g}{h_p}. \tag{2.16} \]

将式 (2.13)、(2.15)、(2.16) 逐项代入式 (2.8)，得到无需读者再拼接的标量式 ⁴：

\[ \boxed{ \begin{aligned} D_{\rm KL}(P\|G) ={}&2\frac{\Delta u^2}{w_g^2}+2\frac{\Delta v^2}{h_g^2}\\ &+\frac12\left(\frac{w_p^2}{w_g^2}+\frac{h_p^2}{h_g^2}\right) \cos^2\Delta\theta\\ &+\frac12\left(\frac{h_p^2}{w_g^2}+\frac{w_p^2}{h_g^2}\right) \sin^2\Delta\theta -1+\log\frac{w_gh_g}{w_ph_p}. \end{aligned}} \tag{2.16a} \]

最简单的检查是代入完全相同的框：中心项为 0、余弦项为 1、正弦项为 0、对数项为 0，最后\(1-1=0\)。如果只改变中心，则只剩前两个加权平方误差；如果只旋转预测框，则变化只在中间两项。

2.5 梯度耦合：不是五个独立误差

“梯度耦合”说的是：某个参数该改多少，会受其他参数影响。对于很细长的真值框，跨过短边的一像素偏差可能很严重，沿长边的一像素偏差则不那么严重。KLD 不是给两个方向使用同一个固定权重，而是由真值框的宽高和方向来确定权重。下面的求导把这一直觉写成可计算的量。

先看中心。由式 (2.8)：

\[ \nabla_{\mu_p}D_{\mathrm{KL}}(P\|G) =\Sigma_g^{-1}(\mu_p-\mu_g). \tag{2.17} \]

当 \(\theta_g=0\) 时，

\[ \nabla_{\mu_p}D_{\mathrm{KL}} =\begin{bmatrix}4\Delta x/w_g^2\\4\Delta y/h_g^2\end{bmatrix}. \tag{2.18} \]

短边越短，相应方向的中心误差梯度越大。再对网络常回归的 \(\log w_p,\log h_p\) 求导。 先令求导变量 \(z=\log w_p\)，即 \(w_p=e^z\)，所以 \(\partial/\partial z=w_p\,\partial/\partial w_p\)。若改为直接对 \(w_p\) 求导，结果还要 除以 \(w_p\)；两种梯度不能混为一谈。由此得到 \(\partial w_p^2/\partial\log w_p=2w_p^2\)，再对式 (2.15)、(2.16) 的相应项求导，得到

\[ \boxed{ \frac{\partial D_{\mathrm{KL}}}{\partial\log w_p} =\frac{w_p^2}{w_g^2}\cos^2\Delta\theta +\frac{w_p^2}{h_g^2}\sin^2\Delta\theta-1, } \tag{2.19} \]

\[ \boxed{ \frac{\partial D_{\mathrm{KL}}}{\partial\log h_p} =\frac{h_p^2}{h_g^2}\cos^2\Delta\theta +\frac{h_p^2}{w_g^2}\sin^2\Delta\theta-1. } \tag{2.20} \]

角度只出现在迹项。利用

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\delta}\cos^2\delta=-\sin2\delta, \qquad \frac{\mathrm d}{\mathrm d\delta}\sin^2\delta=\sin2\delta, \]

有

\[ \boxed{ \frac{\partial D_{\mathrm{KL}}}{\partial\theta_p} =\frac12(w_p^2-h_p^2) \left(\frac1{h_g^2}-\frac1{w_g^2}\right) \sin(2\Delta\theta). } \tag{2.21} \]

当预测尺寸已经等于真值尺寸时，令 \(r=w_g/h_g\)：

\[ \frac{\partial D_{\mathrm{KL}}}{\partial\theta_p} =\frac12\left(r-\frac1r\right)^2\sin(2\Delta\theta). \tag{2.22} \]

因此长宽比越极端，角度梯度越强；当 \(r=1\)，角度梯度严格为 0，这再次证明正方形方向退化。 不同论文有时把 \(D_{\mathrm{KL}}\) 外的常数 \(1/2\) 吸收到 loss 权重中，所以会看到不带 \(1/2\) 的等价梯度式；比较时必须先统一 KLD 定义。

2.6 严格的共同仿射不变性

令 \(M\) 为可逆矩阵，对两个随机向量同时施加

\[ \mu_i'=M\mu_i+b,\qquad \Sigma_i'=M\Sigma_iM^\top. \tag{2.23} \]

其中 \(b\) 是两个分布共同的平移向量。这里的“共同”很重要：同一个 \(M,b\) 同时作用在两边， 不是单独改变预测框。相减后 \(b\) 抵消，故 \(\Delta\mu'=M\Delta\mu\)。例如坐标单位从像素改成 另一长度单位，并不应该改变无量纲的 KLD；第 1.2 节只放大协方差、保持中心不动的操作却不是 这种坐标变换。

中心项变为

\[ \begin{aligned} (M\Delta\mu)^\top(M\Sigma_gM^\top)^{-1}(M\Delta\mu) &=\Delta\mu^\top M^\top M^{-\top}\Sigma_g^{-1}M^{-1}M\Delta\mu\\ &=\Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}\Delta\mu. \end{aligned} \tag{2.24} \]

迹项为

\[ \begin{aligned} \operatorname{Tr}[(M\Sigma_gM^\top)^{-1}(M\Sigma_pM^\top)] &=\operatorname{Tr}(M^{-\top}\Sigma_g^{-1}\Sigma_pM^\top)\\ &=\operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p). \end{aligned} \tag{2.25} \]

行列式比中 \(\det(M)^2\) 抵消：

\[ \frac{\det(M\Sigma_gM^\top)}{\det(M\Sigma_pM^\top)} =\frac{\det(M)^2\det\Sigma_g}{\det(M)^2\det\Sigma_p}. \tag{2.26} \]

所以

\[ D_{\mathrm{KL}}(P'\|G')=D_{\mathrm{KL}}(P\|G). \tag{2.27} \]

取 \(M=\alpha I\) 就得到严格共同尺度不变性。与之相对，原始 \(W_2\) 在共同缩放后乘以 \(|\alpha|\)，NWD 只有在归一常数 \(C\) 同时缩放时才严格不变。

这里证明的是 Gaussian 分布被共同仿射变换后的性质。一般剪切会把矩形变成平行四边形； 若再拟合一个外接旋转矩形并重新编码，就额外改变了对象，不能直接套用这个不变性结论。

2.7 从散度到论文 loss

KLD 检测工作采用和 GWD 相似的后处理族 ⁴：

\[ \mathcal L_{\mathrm{KLD}} =1-\frac1{\tau+f(D_{\mathrm{KL}})}, \qquad \tau\ge1, \tag{2.28} \]

其中 \(f(D)=\sqrt D\) 或 \(\log(1+D)\)。这是论文设计，不是 KLD 的定义。两者都将较大的散度 压缩，外层分式又使损失有上界。若采用式 (2.28) 且要求完美匹配时损失为 0，应取 \(\tau=1\)； \(\tau=2\) 时，完美匹配的常数基线是 \(1/2\)。

要区分“减去常数基线”和“改变 \(\tau\)”。 固定 \(\tau\) 后减去 \(1-1/\tau\)，得到

\[ \widetilde{\mathcal L}_{\rm KLD} =\frac1\tau-\frac1{\tau+f(D)}. \tag{2.29} \]

这个平移不改变梯度，只改变日志中的零点。但把 \(\tau\) 从 1 改成 2 会改变梯度，因为在可微处

\[ \frac{\partial\mathcal L_{\rm KLD}}{\partial D} =\frac{f'(D)}{[\tau+f(D)]^2}. \tag{2.30} \]

因此不能把不同 \(\tau\) 的两个损失仅理解为相差一个常数。若 \(f(D)=\sqrt D\)，式 (2.30) 先在 \(D>0\) 使用，完美匹配处需分析复合函数或明确数值稳定化方式。

三、Bhattacharyya、Hellinger 与 ProbIoU：从积分完整推导

3.1 三个量的定义

KLD 有方向性，因此接下来考虑一种对称比较：不再问“由谁来给谁打分”，而是看两个密度在 相同位置能共同给出多少权重。几何平均 \(\sqrt{p(x)q(x)}\) 对交换 \(p,q\) 不变；某一方密度很小， 这一位置的贡献就很小。将它累加，便得到下面的重合系数。

对两个密度 \(p,q\)，Bhattacharyya 系数定义为 ⁵¹⁸

\[ BC(P,Q)=\int\sqrt{p(x)q(x)}\,\mathrm dx. \tag{3.1} \]

它为什么落在 \([0,1]\)？非负性由被积函数非负得到；再由 Cauchy--Schwarz 不等式，

\[ BC(P,Q)^2 \le\left(\int p(x)\,\mathrm dx\right) \left(\int q(x)\,\mathrm dx\right)=1. \tag{3.1a} \]

相同分布给出 \(BC=1\)。它越接近 1 越相似，不符合“相同对象的距离等于 0”的习惯，因此再通过 负对数或平方根把它变成差异量。

Bhattacharyya 距离是

\[ D_B(P,Q)=-\log BC(P,Q), \tag{3.2} \]

Hellinger 距离采用本文与 ProbIoU 相同的归一化：

\[ H(P,Q) =\frac1{\sqrt2}\|\sqrt p-\sqrt q\|_{L^2} =\sqrt{1-BC(P,Q)}. \tag{3.3} \]

式 (3.3) 的第二个等号来自

\[ \begin{aligned} \frac12\int(\sqrt p-\sqrt q)^2\,\mathrm dx &=\frac12\int(p+q-2\sqrt{pq})\,\mathrm dx\\ &=\frac12(1+1-2BC)=1-BC. \end{aligned} \tag{3.4} \]

式 (3.3) 中 \(\|h\|_{L^2}=\sqrt{\int h(x)^2\,\mathrm dx}\)，是把有限维向量的欧氏范数推广到 函数。\(H\) 就是两个“平方根密度函数”之间的欧氏型距离，所以具有三角不等式。\(D_B\) 虽然名字 中也有“距离”，却一般不是严格的数学度量：取方差均为 1、均值依次为 \(0,1,2\) 的三个一维 Gaussian，由后面的式 (3.21) 可得两段 \(D_B\) 都为 \(1/8\)，直接跨两段却是 \(1/2>1/8+1/8\)。 不要把 Hellinger 的度量性质自动赋给 Bhattacharyya 距离或 ProbIoU 相似度。

ProbIoU 论文定义 ⁵

\[ \operatorname{ProbIoU}(P,Q)=1-H(P,Q). \tag{3.5} \]

它是 Gaussian 区域的有界相似度，不是两个矩形或多边形的精确 IoU。

3.2 两个 Gaussian 的 Bhattacharyya 积分

令

\[ P=\mathcal N(\mu_1,\Sigma_1),\qquad Q=\mathcal N(\mu_2,\Sigma_2), \]

且 \(\Sigma_1,\Sigma_2\) 正定。把密度代入式 (3.1)：

\[ \begin{aligned} \sqrt{p(x)q(x)} ={}&(2\pi)^{-d/2} (\det\Sigma_1\det\Sigma_2)^{-1/4}\\ &\cdot\exp\left\{-\frac14 \left[(x-\mu_1)^\top\Sigma_1^{-1}(x-\mu_1) +(x-\mu_2)^\top\Sigma_2^{-1}(x-\mu_2) \right]\right\}. \end{aligned} \tag{3.6} \]

这一段计算只做一件事：把两个 Gaussian 指数之和重新整理成一个 Gaussian 的指数。可以先回忆 一元配方 \(ax^2-2bx+c=a(x-b/a)^2+c-b^2/a\)。下面 \(A,b,c\) 分别扮演二次项、一次项和常数项 的系数；\(A\) 是矩阵，\(b\) 是向量，\(c\) 是标量。它们只是本节的临时记号，不是额外的检测参数。

定义

\[ A=\frac12(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1}), \tag{3.7} \]

\[ b=\frac12(\Sigma_1^{-1}\mu_1+\Sigma_2^{-1}\mu_2), \tag{3.8} \]

\[ c=\frac12(\mu_1^\top\Sigma_1^{-1}\mu_1 +\mu_2^\top\Sigma_2^{-1}\mu_2). \tag{3.9} \]

则指数中的二次型可写成

\[ -\frac12(x^\top A x-2b^\top x+c). \tag{3.10} \]

令 \(\hat\mu=A^{-1}b\)，完成平方：

\[ x^\top A x-2b^\top x+c =(x-\hat\mu)^\top A(x-\hat\mu)+c-b^\top A^{-1}b. \tag{3.11} \]

因此

\[ \begin{aligned} BC ={}&(2\pi)^{-d/2}(\det\Sigma_1\det\Sigma_2)^{-1/4} \exp\left[-\frac12(c-b^\top A^{-1}b)\right]\\ &\cdot\int \exp\left[-\frac12(x-\hat\mu)^\top A(x-\hat\mu)\right]\mathrm dx. \end{aligned} \tag{3.12} \]

最后的积分是未归一 Gaussian 积分：

\[ \int e^{-\frac12(x-\hat\mu)^\top A(x-\hat\mu)}\mathrm dx =(2\pi)^{d/2}(\det A)^{-1/2}. \tag{3.13} \]

式 (3.13) 也可以不用记忆。令 \(y=A^{1/2}(x-\hat\mu)\)，则二次型变成 \(y^\top y\)，体积微元 变成 \(\mathrm dx=(\det A)^{-1/2}\mathrm dy\)。剩下的积分是 \(d\) 个一维 Gaussian 积分的乘积， 每个 \(\int_{\mathbb R}e^{-y^2/2}\mathrm dy=\sqrt{2\pi}\)，于是得到 \((2\pi)^{d/2}(\det A)^{-1/2}\)。这里 \(A\) 正定，因此主平方根存在且可逆。

接下来分别化简行列式和均值项。

3.2.1 行列式项

注意

\[ \Sigma_1^{-1}(\Sigma_1+\Sigma_2)\Sigma_2^{-1} =\Sigma_2^{-1}+\Sigma_1^{-1}, \]

故

\[ \det A =2^{-d}\frac{\det(\Sigma_1+\Sigma_2)} {\det\Sigma_1\det\Sigma_2}. \tag{3.14} \]

令

\[ \bar\Sigma=\frac{\Sigma_1+\Sigma_2}{2}, \]

则 \(\det\bar\Sigma=2^{-d}\det(\Sigma_1+\Sigma_2)\)，所以

\[ \det A=\frac{\det\bar\Sigma}{\det\Sigma_1\det\Sigma_2}. \tag{3.15} \]

式 (3.12) 的全部行列式系数化为

\[ (\det\Sigma_1\det\Sigma_2)^{-1/4}(\det A)^{-1/2} =\frac{(\det\Sigma_1\det\Sigma_2)^{1/4}} {\det(\bar\Sigma)^{1/2}}. \tag{3.16} \]

3.2.2 均值项

积分对共同平移不变，可以令 \(\mu_2=0,\mu_1=\Delta\mu\)。此时

\[ b=\frac12\Sigma_1^{-1}\Delta\mu, \qquad c=\frac12\Delta\mu^\top\Sigma_1^{-1}\Delta\mu. \]

又因

\[ A^{-1}=2(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}, \]

有

\[ \begin{aligned} c-b^\top A^{-1}b =\frac12\Delta\mu^\top \left[ \Sigma_1^{-1} -\Sigma_1^{-1}(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}\Sigma_1^{-1} \right]\Delta\mu. \end{aligned} \tag{3.17} \]

括号内使用 parallel-sum 恒等式

\[ \Sigma_1^{-1} -\Sigma_1^{-1}(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}\Sigma_1^{-1} =(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}. \tag{3.18} \]

下面把这个恒等式真正展开，而不是把矩阵因子当成标量交换。记 \(S=\Sigma_1+\Sigma_2\)，则

\[ (\Sigma_1S^{-1}\Sigma_2)^{-1} =\Sigma_2^{-1}S\Sigma_1^{-1} =\Sigma_2^{-1}+\Sigma_1^{-1}. \tag{3.18a} \]

因此 \((\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}=\Sigma_1S^{-1}\Sigma_2\)，再代回左侧：

\[ \begin{aligned} &\Sigma_1^{-1} -\Sigma_1^{-1}(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}\Sigma_1^{-1}\\ &=\Sigma_1^{-1}-S^{-1}\Sigma_2\Sigma_1^{-1}\\ &=S^{-1}(S-\Sigma_2)\Sigma_1^{-1} =S^{-1}\Sigma_1\Sigma_1^{-1}=S^{-1}. \end{aligned} \tag{3.18b} \]

这里第二行到第三行只是在第一项左边插入 \(S^{-1}S=I\)。于是

\[ c-b^\top A^{-1}b =\frac12\Delta\mu^\top(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\Delta\mu =\frac14\Delta\mu^\top\bar\Sigma^{-1}\Delta\mu. \tag{3.19} \]

3.2.3 合并

把式 (3.16)、(3.19) 代回式 (3.12)：

\[ \boxed{ BC(P,Q) =\frac{(\det\Sigma_1\det\Sigma_2)^{1/4}} {\det(\bar\Sigma)^{1/2}} \exp\left[-\frac18\Delta\mu^\top\bar\Sigma^{-1}\Delta\mu\right]. } \tag{3.20} \]

取负对数得到

\[ \boxed{ D_B(P,Q) =\frac18\Delta\mu^\top\bar\Sigma^{-1}\Delta\mu +\frac12\log \frac{\det\bar\Sigma}{\sqrt{\det\Sigma_1\det\Sigma_2}}. } \tag{3.21} \]

这就是 ProbIoU 与 G-Rep 中使用的 Gaussian Bhattacharyya 闭式 ⁵⁸。

3.3 两种 ProbIoU loss 及其精确关系

由式 (3.2)--(3.5)：

\[ BC=e^{-D_B}, \qquad H=\sqrt{1-e^{-D_B}}, \qquad \operatorname{ProbIoU}=1-H. \tag{3.22} \]

论文给出两种回归量 ⁵：

\[ \mathcal L_1=H=\sqrt{1-e^{-D_B}}, \tag{3.23} \]

\[ \mathcal L_2=D_B. \tag{3.24} \]

二者不是近似关系，而是严格单调变换：

\[ \mathcal L_1^2=1-e^{-\mathcal L_2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \mathcal L_2=-\log(1-\mathcal L_1^2). } \tag{3.25} \]

对任一框参数 \(z\)，链式法则给出

\[ \boxed{ \frac{\partial\mathcal L_1}{\partial z} =\frac{e^{-\mathcal L_2}} {2\sqrt{1-e^{-\mathcal L_2}}} \frac{\partial\mathcal L_2}{\partial z}. } \tag{3.26} \]

当 \(D_B\) 很大时，\(e^{-D_B}\to0\)，\(\mathcal L_1\to1\) 且梯度趋近 0，表现为远距离饱和； \(\mathcal L_2=D_B\) 不受这一有界变换压缩。当 \(D_B\to0\) 时，

\[ 1-e^{-D_B}=D_B+O(D_B^2), \]

所以

\[ \mathcal L_1=\sqrt{D_B}+O(D_B^{3/2}). \tag{3.27} \]

若 \(D_B\) 对参数误差是二次量，则 \(\mathcal L_1\) 局部类似绝对值，\(\mathcal L_2\) 局部类似平方误差。 式 (3.26) 的系数单独看会发散，但必须与 \(\partial D_B/\partial z\to0\) 一起看，不能据此直接断言 总体梯度发散。

3.4 水平框的显式式子

对水平框使用式 (1.5)，写

\[ \Sigma_i=\operatorname{diag}(a_i,b_i), \qquad a_i=w_i^2/12,\quad b_i=h_i^2/12. \]

则

\[ \bar\Sigma^{-1} =\operatorname{diag}\left( \frac2{a_1+a_2},\frac2{b_1+b_2} \right). \]

式 (3.21) 第一项为

\[ \frac14\left[ \frac{(x_1-x_2)^2}{a_1+a_2} +\frac{(y_1-y_2)^2}{b_1+b_2} \right], \tag{3.28} \]

第二项为

\[ \frac12\log[(a_1+a_2)(b_1+b_2)] -\frac14\log(a_1a_2b_1b_2)-\log2. \tag{3.29} \]

式 (3.29) 中的 \(-\log2\) 来自 \(\det\bar\Sigma=((a_1+a_2)(b_1+b_2))/4\)。若把常数吸收到 一个合并对数中，它不会消失；完美匹配时正是它与其余项共同保证 \(D_B=0\)。

把第 1.2 节的两个 \(2\times2\) 框继续算完。中心相差 \((1,0)\)，且采用 \(1/12\) 映射，所以 \(a_1=a_2=b_1=b_2=1/3\)。形状完全相同，行列式项为 0，故

\[ \begin{aligned} D_B&=\frac14\frac{1^2}{1/3+1/3}=\frac38,\\ BC&=e^{-3/8}\approx0.687289,\\ \mathcal L_1=H&=\sqrt{1-e^{-3/8}}\approx0.559205,\\ \operatorname{ProbIoU}&=1-H\approx0.440795,\qquad \mathcal L_2=D_B=0.375. \end{aligned} \tag{3.29a} \]

这样就从框参数走完了“协方差—基础差异—相似度—损失”整条链。同一对真实矩形的交集面积是 \(1\times2=2\)，并集面积是 \(4+4-2=6\)，真实 IoU 为 \(1/3\)，不是上面的 ProbIoU。

3.5 仿射不变性证明

对可逆 \(M\) 同时施加式 (2.23)。均值项与式 (2.24) 同理保持不变，因为 \(\bar\Sigma'=M\bar\Sigma M^\top\)。行列式比为

\[ \begin{aligned} \frac{\det\bar\Sigma'} {\sqrt{\det\Sigma_1'\det\Sigma_2'}} &=\frac{\det(M)^2\det\bar\Sigma} {\sqrt{\det(M)^2\det\Sigma_1\cdot \det(M)^2\det\Sigma_2}}\\ &=\frac{\det\bar\Sigma} {\sqrt{\det\Sigma_1\det\Sigma_2}}. \end{aligned} \tag{3.30} \]

因此 \(D_B\)、\(BC\)、\(H\) 和 ProbIoU 都对共同可逆仿射变换不变。这是其无需 NWD 外部像素常数 \(C\) 的原因之一。

3.6 它与真实 IoU 的关系边界

若两个有限区域 \(\Omega_1,\Omega_2\) 上分别放置均匀离散分布，大小为 \(N,M\)，则

\[ BC=\frac{|\Omega_1\cap\Omega_2|}{\sqrt{NM}}. \tag{3.31} \]

真实 IoU 是

\[ \operatorname{IoU} =\frac{|\Omega_1\cap\Omega_2|}{N+M-|\Omega_1\cap\Omega_2|}. \tag{3.32} \]

即使 \(N=M\)，式 (3.31) 也为 \(I/N\)，式 (3.32) 则为 \(I/(2N-I)\)；二者不相等。 ProbIoU 的名字表达的是“类似 IoU 的概率相似度”，不是等式 (3.32) 的概率重写。

四、KFIoU：Gaussian 乘积为什么像“交集”，又为什么不是真交集

KFIoU 不再比较两个分布有多远，而是把两个 Gaussian 密度相乘，用乘积 Gaussian 的协方差体积 模拟旋转框交集 ⁶。这一步与 Kalman 更新有相同代数形式，因而得名 KFIoU；它不是 Kalman 滤波器在检测器中随时间运行。

直觉上，乘积在“两边密度都高”的位置才大，因而看起来像取交集。但这里有一个容易漏掉的步骤： 乘积的总积分通常不是 1，要重新归一化才能成为概率分布。乘积整体有多大和归一化后有多宽 是两件事，KFIoU 的体积代理只保留后者。接下来先求后者，再说明这种取舍丢掉了什么。

4.1 从两个密度的乘积推导交集协方差

令

\[ p_i(x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma_i|^{1/2}} \exp\left[-\frac12(x-\mu_i)^\top\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i)\right], \qquad i=1,2. \tag{4.1} \]

只看与 \(x\) 有关的指数，定义精度矩阵 \(\Lambda_i=\Sigma_i^{-1}\)：

\[ \begin{aligned} -2\log[p_1(x)p_2(x)] ={}&(x-\mu_1)^\top\Lambda_1(x-\mu_1) +(x-\mu_2)^\top\Lambda_2(x-\mu_2)+\text{常数}\\ ={}&x^\top(\Lambda_1+\Lambda_2)x -2x^\top(\Lambda_1\mu_1+\Lambda_2\mu_2)+\text{常数}. \end{aligned} \tag{4.2} \]

记

\[ \Lambda_\cap=\Lambda_1+\Lambda_2, \qquad \mu_\cap=\Lambda_\cap^{-1}(\Lambda_1\mu_1+\Lambda_2\mu_2). \tag{4.3} \]

因为

\[ (x-\mu_\cap)^\top\Lambda_\cap(x-\mu_\cap) =x^\top\Lambda_\cap x-2x^\top\Lambda_\cap\mu_\cap +\mu_\cap^\top\Lambda_\cap\mu_\cap, \tag{4.4} \]

式 (4.2) 与式 (4.4) 的前两项完全相同，最后一项只进入归一化常数。因此

\[ p_1(x)p_2(x)\propto \mathcal N(x;\mu_\cap,\Sigma_\cap), \qquad \boxed{\Sigma_\cap=(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})^{-1}}. \tag{4.5} \]

符号 \(\propto\) 表示两边相差一个与 \(x\) 无关的正系数，并不是直接相等。完整形式是

\[ \begin{aligned} p_1(x)p_2(x)&=Z\,\mathcal N(x;\mu_\cap,\Sigma_\cap),\\ Z&=\int p_1(x)p_2(x)\,\mathrm dx\\ &=\frac{\exp[-\frac12(\mu_1-\mu_2)^\top (\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}(\mu_1-\mu_2)]} {(2\pi)^{d/2}\det(\Sigma_1+\Sigma_2)^{1/2}}. \end{aligned} \tag{4.5a} \]

它也可以通过与第 3.2 节相同的配方、积分步骤求出。这里 \(Z\) 会随着中心远离而下降，但 \(\Sigma_\cap\) 不随中心改变。故后文若只用 \(\Sigma_\cap\) 的行列式，乘积中原本存在的位置信息 就没有进入相似度。另须注意，\(Z\) 是密度乘积的积分，并不具有 Bhattacharyya 系数的 \([0,1]\) 上界，不能直接把二者互换。

式 (4.5) 还可写成论文所用的 Kalman 形式。先设

\[ K=\Sigma_1(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}. \tag{4.6} \]

要证明

\[ \Sigma_\cap=\Sigma_1-K\Sigma_1, \tag{4.7} \]

只需证明右边被 \((\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1})\) 左乘后得到 \(I\)。利用 \(I-\Sigma_1(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}=\Sigma_2(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\)，有

\[ \begin{aligned} \Sigma_1-K\Sigma_1 &=[I-\Sigma_1(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}]\Sigma_1\\ &=\Sigma_2(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\Sigma_1, \end{aligned} \tag{4.8} \]

而

\[ \begin{aligned} &(\Sigma_1^{-1}+\Sigma_2^{-1}) \Sigma_2(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\Sigma_1\\ &=(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2+I)(\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\Sigma_1\\ &=\Sigma_1^{-1}(\Sigma_1+\Sigma_2) (\Sigma_1+\Sigma_2)^{-1}\Sigma_1=I. \end{aligned} \tag{4.9} \]

这里第二行到第三行应整体结合： \(\Sigma_1^{-1}\Sigma_2+I=\Sigma_1^{-1}(\Sigma_1+\Sigma_2)\)。因此式 (4.7) 成立。 矩阵通常不交换，不能把这些因子的顺序随意改写。

4.2 从协方差恢复框体积

在 \(1/4\) 映射下，\(d\) 维框的协方差特征值为

\[ \lambda_j=\frac{s_j^2}{4}, \tag{4.10} \]

其中 \(s_j\) 是第 \(j\) 条边长。因此

\[ |\Sigma|^{1/2} =\left(\prod_{j=1}^d\frac{s_j^2}{4}\right)^{1/2} =\frac{\prod_{j=1}^d s_j}{2^d}. \tag{4.11} \]

框的 \(d\) 维体积为

\[ \boxed{V_B(\Sigma)=2^d|\Sigma|^{1/2}}. \tag{4.12} \]

二维时 \(V_B=4\sqrt{|\Sigma|}=wh\)；三维时 \(V_B=8\sqrt{|\Sigma|}=whl\)。KFIoU 定义

\[ V_i=V_B(\Sigma_i),\qquad V_\cap=V_B(\Sigma_\cap), \tag{4.13} \]

\[ \boxed{ \operatorname{KFIoU} =\frac{V_\cap}{V_1+V_2-V_\cap}. } \tag{4.14} \]

这在形式上复制了 \(I/(A_1+A_2-I)\)，但 \(V_\cap\) 不是两个矩形的真实交集面积。尤其式 (4.5) 与 \(\mu_1-\mu_2\) 完全无关：把两个框移得任意远，只要形状不变，式 (4.14) 就不变。因此论文另设中心 损失先拉近中心，再让 KFIoU 负责形状与方向 ⁶。

4.3 KFIoU 上界的完整证明

KFIoU 甚至在两个框完全相同时也不是 1。下面把这个容易被后处理掩盖的事实严格证明出来。

先看最直观的相同协方差情形：\(\Sigma_1=\Sigma_2=\Sigma\) 时，精度相加给出 \(\Sigma_\cap=\Sigma/2\)。二维面积与 \(\sqrt{\det\Sigma}\) 成正比，因此代理交集面积只有原面积 的一半，得到 \((V/2)/(2V-V/2)=1/3\)。这解释了为什么完美形状匹配也不是 1。

下面再证明不同协方差不会超过这个值。AM--GM 是“算术平均不小于几何平均”，对正数 \(x,y\) 写作 \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)。证明先把矩阵化成正特征值上的乘积，再逐个使用这一标量不等式。

对正定矩阵 \(A,B\)，令 \(C=A^{-1/2}BA^{-1/2}\)，其正特征值为 \(r_1,\ldots,r_d\)。则

\[ \begin{aligned} |A^{-1}+B^{-1}| &=|A|^{-1}|I+AB^{-1}|\\ &=|A|^{-1}\prod_{j=1}^d(1+r_j^{-1}). \end{aligned} \tag{4.15} \]

由一维 AM--GM，\(1+r_j^{-1}\ge 2r_j^{-1/2}\)，逐项相乘得到

\[ \begin{aligned} |A^{-1}+B^{-1}| &\ge |A|^{-1}2^d\prod_{j=1}^dr_j^{-1/2}\\ &=\frac{2^d}{\sqrt{|A||B|}}. \end{aligned} \tag{4.16} \]

取倒数再开平方：

\[ |(A^{-1}+B^{-1})^{-1}|^{1/2} \le 2^{-d/2}(|A||B|)^{1/4}. \tag{4.17} \]

代入式 (4.12)，若 \(q=\sqrt{V_1V_2}\)，则

\[ V_\cap\le 2^{-d/2}q. \tag{4.18} \]

另一方面，标量 AM--GM 给出 \(V_1+V_2\ge2q\)。函数 \(z/(a-z)\) 在 \(0<z<a\) 上随 \(z\) 单调增加，所以

\[ \begin{aligned} \operatorname{KFIoU} &=\frac{V_\cap}{V_1+V_2-V_\cap}\\ &\le\frac{2^{-d/2}q}{2q-2^{-d/2}q}\\ &=\boxed{\frac1{2^{d/2+1}-1}}. \end{aligned} \tag{4.19} \]

等号要求式 (4.16) 与两个 AM--GM 同时取等，恰为 \(A=B\)。二维最大值是 \(1/3\)，三维最大值是 \(1/(2^{5/2}-1)\)，都不是 1。KFIoU 论文使用单调后处理，例如

\[ \mathcal L_{kf}=e^{1-\operatorname{KFIoU}}-1, \tag{4.20} \]

来形成训练项 ⁶；单调变换不会把式 (4.14) 变成真正的 IoU。

五、MKIoU：调制 KFIoU，并给正方形补回角度

MKIoU 直接针对两个缺口：KFIoU 在高重叠区的曲线与 SkewIoU 不够一致，以及整框 Gaussian 对 正方形角度完全失明 ⁷。

5.1 从 KFIoU 的标量展开到调制式

先说明本节的任务：前一章的 KFIoU 最大只有 \(1/3\)，能否重新映射到最大值 1，并调节接近最佳 形状时的惩罚斜率？MKIoU 的调制式就是为此设计的 ⁷。它仍不含中心差，因此本节先比较形状， 中心误差留给后面的独立项。

原论文写出的 \(A,B\) 不是另两个自由参数，而是两个框面积与代理交集面积的比值。记 \(V_p=V_B(\Sigma_p),V_g=V_B(\Sigma_g)\)，由第 4 章的乘积协方差，

\[ \det\Sigma_\cap =\frac{\det\Sigma_p\det\Sigma_g}{\det(\Sigma_p+\Sigma_g)}. \tag{5.0a} \]

于是定义

\[ \begin{aligned} A&=\frac{V_p}{V_\cap} =\sqrt{\frac{\det(\Sigma_p+\Sigma_g)}{\det\Sigma_g}},\\ B&=\frac{V_g}{V_\cap} =\sqrt{\frac{\det(\Sigma_p+\Sigma_g)}{\det\Sigma_p}}. \end{aligned} \tag{5.0b} \]

还可以把它们化成宽高和角度。二维矩阵满足 \(\det(I+X)=1+\operatorname{Tr}X+\det X\)；令 \(T_{pg}=\operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p)\)，\(T_{gp}\) 则交换两下标，得到

\[ \begin{aligned} A^2&=1+T_{pg}+\left(\frac{w_ph_p}{w_gh_g}\right)^2,\\ B^2&=1+T_{gp}+\left(\frac{w_gh_g}{w_ph_p}\right)^2. \end{aligned} \tag{5.0c} \]

其中 \(T_{pg}\) 已在式 (2.15) 完整展开为宽高比、\(\cos^2\Delta\theta\) 和 \(\sin^2\Delta\theta\)，\(T_{gp}\) 用同式交换预测和真值即可。这就说明原论文的大段根号式从哪里 来，也避免把 \(A,B\) 当作未定义的符号。

将 KFIoU 的分子分母同时除以 \(V_\cap>0\)，便得到式 (5.2)。再由二维上界 \(\operatorname{KFIoU}\le1/3\)，等价得到

\[ A+B\ge4, \tag{5.1} \]

并将原 KFIoU 写成

\[ \operatorname{KFIoU}=\frac1{A+B-1}. \tag{5.2} \]

调制参数 \(\alpha<4\) 后定义

\[ \boxed{ \operatorname{MKIoU}=\frac{4-\alpha}{A+B-\alpha}. } \tag{5.3} \]

式 (5.1) 立即给出分母至少为 \(4-\alpha>0\)，因此

\[ 0<\operatorname{MKIoU}\le1. \tag{5.4} \]

当且仅当两个协方差相同时 \(A+B=4\)，式 (5.3) 等于 1。这里不要求中心相同， 也不能区分整框 Gaussian 已经丢掉的正方形角度。因此“相似度等于 1”不能直接解释为原框完全 重合。若 \(\alpha=1\)，则

\[ \operatorname{MKIoU} =\frac3{A+B-1}=3\operatorname{KFIoU}. \tag{5.5} \]

所以 MKIoU 不是从新的概率距离定理推出的量，而是用 \(\alpha\) 改变高重叠区域斜率的检测设计。

具体地，令 \(t=A+B\ge4\)，将形状损失记为 \(1-\operatorname{MKIoU}\)，则

\[ \frac{\mathrm d(1-\operatorname{MKIoU})}{\mathrm dt} =\frac{4-\alpha}{(t-\alpha)^2},\qquad \left.\frac{\mathrm d(1-\operatorname{MKIoU})}{\mathrm dt}\right|_{t=4} =\frac1{4-\alpha}. \tag{5.5a} \]

这就是“调制斜率”的具体含义：\(\alpha\) 越接近 4，最佳形状附近对 \(t\) 的变化越敏感。但这里是 对汇总量 \(t\) 求导，并不保证每一个原始框参数在所有位置都有非零梯度。

5.2 Gaussian Angle Loss 的周期和梯度

重新标定相似度只能改变数值曲线，不能创造已经丢掉的信息。正方形的协方差与角度无关，所以 MKIoU 还需要额外读入预测角和标注角。这个补偿最好主要用于接近正方形的目标，细长目标已有较强 的形状方向信号；下面的指数系数就是这样一个随长宽比变化的“开关”。

设 \(\Delta\theta=\theta_p-\theta_g\)，目标长宽为 \(w_g,h_g\)。论文定义 ⁷

\[ \boxed{ L_{\rm GA} =\beta\exp\left[ 4\lambda-\lambda\left(\frac{w_g}{h_g}+\frac{h_g}{w_g}\right)^2 \right]\sin^2(2\Delta\theta). } \tag{5.6} \]

这里 \(\beta\ge0\) 控制角度项的总体权重，\(\lambda>0\) 控制离开正方形后权重衰减得多快。 下面关于指数衰减的解释需要 \(\lambda>0\)；若取 \(\lambda=0\)，系数恒为 \(\beta\)，便不再有 长宽比门控。

先解释长宽比门控。令 \(r=w_g/h_g>0\)，则由 AM--GM，

\[ r+\frac1r\ge2 \quad\Longrightarrow\quad 4-\left(r+\frac1r\right)^2\le0. \tag{5.7} \]

当且仅当 \(r=1\) 时指数为 0，门控系数达到 \(\beta\)；\(r\) 远离 1 时指数迅速变负，角度补偿趋近 0。再看周期：

\[ \sin^2[2(\Delta\theta+\pi/2)] =\sin^2(2\Delta\theta+\pi) =\sin^2(2\Delta\theta), \tag{5.8} \]

它正好具有正方形的 \(90^\circ\) 周期。对预测角求导时，指数系数与 \(\theta_p\) 无关，而且

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\sin^2z=2\sin z\cos z=\sin2z. \tag{5.9} \]

令 \(z=2\Delta\theta\)，\(\mathrm dz/\mathrm d\theta_p=2\)，故

\[ \boxed{ \frac{\partial L_{\rm GA}}{\partial\theta_p} =2\beta e^{4\lambda-\lambda(r+1/r)^2}\sin(4\Delta\theta). } \tag{5.10} \]

MKIoU 论文的导数展示式漏写了 \(\beta\)；只有取 \(\beta=1\) 时原展示式才成立。令 \(c_{ip},c_{ig}\) 分别表示预测框和真值框在 \(i\in\{x,y\}\) 方向的中心坐标，最终回归设计为

\[ L_{\rm reg} =\sum_{i\in\{x,y\}}L_{\rm smoothL1}(c_{ip},c_{ig}) +(1-\operatorname{MKIoU})+L_{\rm GA}. \tag{5.11} \]

这也说明 GA Loss 是显式增加的信息通道：它不能从已经各向同性的 \(\Sigma\) 中“恢复”角度，而是 重新使用原始标注角 \(\theta_g\)。

还需保留两个边界。其一，在 \(\Delta\theta=\pi/4\) 时，这个角度项达到最大值，但式 (5.10) 的 导数仍为 0；“能区分角度”不等于“任何错误角度都有非零梯度”。其二，门控只依赖真值长宽比， 交换预测和真值后一般会改变权重，所以 GA 项及 MKIoU+GA 一般不对称。单独的 MKIoU 才对称。

式 (5.11) 中 \(L_{\rm smoothL1}\) 是接近零时用二次误差、偏差较大时用线性误差的函数。例如阈值 为 1 时，令 \(e=c_{ip}-c_{ig}\)，它等于 \(e^2/2\)（\(|e|<1\)）或 \(|e|-1/2\)（\(|e|\ge1\)）。 这个中心项若直接用像素坐标，并不对共同缩放保持不变。因此 MKIoU 和 GA 的尺度性质不能不加 条件地扩展到包含中心项的整个回归损失。

六、G-Rep：任意点集如何通过 MLE 压缩成 Gaussian

G-Rep 把输入从固定五参数 OBB 推广为点集，因此可以统一表示 OBB、四边形框和点预测 ⁸。核心 是对点集拟合 Gaussian，再使用 WD、KLD 或 Bhattacharyya 距离；这一步需要明确压缩掉了什么。

6.1 均值和协方差的最大似然推导

“最大似然”可以先理解为一个拟合问题：点的位置已经给定，我们改变 Gaussian 的中心和宽度， 使这些点在该模型下获得尽可能大的联合密度。这里变化的是模型参数，不是这些点。概率密度并非 单点概率，所以密度大于 1 并不矛盾。

把预测点当成独立 Gaussian 样本，是为了定义拟合准则；并不声称检测器预测的顶点真由独立随机 采样产生。得到的 Gaussian 只是对点集的摘要，能留下中心、展开程度和主方向，却可能丢掉边界 细节。

给定 \(N\) 个 \(d\) 维点 \(x_1,\ldots,x_N\)，假设它们独立来自 \(\mathcal N(\mu,\Sigma)\)。联合似然为

\[ L(\mu,\Sigma) =\prod_{i=1}^N \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left[-\frac12(x_i-\mu)^\top\Sigma^{-1}(x_i-\mu)\right]. \tag{6.1} \]

取对数：

\[ \ell =-\frac{Nd}{2}\log(2\pi)-\frac N2\log|\Sigma| -\frac12\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^\top\Sigma^{-1}(x_i-\mu). \tag{6.2} \]

先固定 \(\Sigma\) 对 \(\mu\) 求导。因为对称矩阵 \(A\) 满足

\[ \frac{\partial}{\partial\mu}(x_i-\mu)^\top A(x_i-\mu) =-2A(x_i-\mu), \tag{6.3} \]

所以

\[ \frac{\partial\ell}{\partial\mu} =\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu). \tag{6.4} \]

令其为 0，并左乘可逆的 \(\Sigma\)：

\[ \sum_i x_i-N\mu=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\hat\mu=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i}. \tag{6.5} \]

再用精度矩阵 \(\Lambda=\Sigma^{-1}\) 求协方差，这会比直接对逆矩阵求导清楚。令 \(r_i=x_i-\hat\mu\)，利用 \(\log|\Sigma|=-\log|\Lambda|\) 以及 \(r_i^\top\Lambda r_i=\operatorname{Tr}(\Lambda r_ir_i^\top)\)，有

\[ \ell(\Lambda) =\text{常数}+\frac N2\log|\Lambda| -\frac12\operatorname{Tr}\left( \Lambda\sum_i r_ir_i^\top \right). \tag{6.6} \]

为什么换成精度矩阵更方便？在式 (6.6) 中，数据相关的第二项对 \(\Lambda\) 已经是线性的，唯一的 非线性项只剩 \(\log|\Lambda|\)。令 \(S=\sum_i r_ir_i^\top\)，其中 \(S\) 在优化 \(\Lambda\) 时固定。 对可逆矩阵，行列式微分满足 \(\mathrm d|\Lambda|=|\Lambda|\operatorname{Tr}(\Lambda^{-1}\mathrm d\Lambda)\)；再用一元链式 法则除以 \(|\Lambda|\)，便得到下面的第一条公式。

矩阵微分恒等式为

\[ \mathrm d\log|\Lambda|=\operatorname{Tr}(\Lambda^{-1}\mathrm d\Lambda), \qquad \mathrm d\operatorname{Tr}(\Lambda S)=\operatorname{Tr}(S\,\mathrm d\Lambda). \tag{6.7} \]

因此一阶条件是

\[ \frac N2\Lambda^{-1}-\frac12\sum_i r_ir_i^\top=0. \tag{6.8} \]

由于 \(\Lambda^{-1}=\Sigma\)，得到

\[ \boxed{ \hat\Sigma_{\rm MLE} =\frac1N\sum_{i=1}^N(x_i-\hat\mu)(x_i-\hat\mu)^\top. } \tag{6.9} \]

分母是 \(N\)，不是无偏样本协方差的 \(N-1\)：这里优化的是这一组数据的 Gaussian 似然，而非要求 估计量在重复抽样中无偏。在样本协方差正定的条件下，这个驻点确实是最大值。原因是 \(\log\det\Lambda\) 在正定矩阵上严格凹，而式 (6.6) 的另一项为线性项；沿任何非零对称扰动 \(H\)，二阶变化包含 \(-\operatorname{Tr}(\Lambda^{-1}H\Lambda^{-1}H)<0\)，因此不会把极小点误当极大点。

满秩条件不能省略。 中心化后的 \(N\) 个向量之和为 0，所以 \(\operatorname{rank}(\hat\Sigma)\le\min(d,N-1)\)。当 \(N\le d\) 时一定奇异；即使 \(N>d\)， 若所有点仍在一条直线或更低维的仿射子空间里，也可能奇异。只有点集在仿射意义上张成整个 \(d\) 维空间，式 (6.9) 才是一个非退化 Gaussian 的合法最大似然协方差。

退化时式 (6.9) 仍给出正确的经验二阶矩，但在“协方差必须正定”的 Gaussian 模型中， 不存在这样的有限最优解：把没有样本散布的方向的方差不断压到 0，似然会不断增大。实现中的 \(\hat\Sigma+\varepsilon I\) 是有意加入的数值正则化，不是原始无约束最大似然解； \(\varepsilon\) 的量纲应与协方差一致。

采样位置也会决定编码。把矩形的四个顶点作为等权样本，局部横坐标都是 \(\pm w/2\)，得到方差 \(w^2/4\)；若改为矩形内部的均匀分布，则由第 1.2 节得到 \(w^2/12\)。“同一个矩形拟合 Gaussian” 并不唯一，必须先说清楚拟合的是哪些点、各点的权重是什么。

6.2 二阶矩压缩不是可逆表示

考虑两个四点集合

\[ \mathcal A=\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}, \tag{6.10} \]

\[ \mathcal B=\left\{ (a,a),(a,-a),(-a,a),(-a,-a) \right\},\qquad a=\frac1{\sqrt2}. \tag{6.11} \]

两者因中心对称都有 \(\hat\mu=0\)。对 \(\mathcal A\)，

\[ \hat\Sigma_A =\frac14\left[ \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \right] =\frac12I. \tag{6.12} \]

对 \(\mathcal B\)，每一点的两个平方坐标都是 \(a^2=1/2\)，而四个交叉项 \(a^2,-a^2,-a^2,a^2\) 相消，故

\[ \hat\Sigma_B=\frac12I. \tag{6.13} \]

一个点集位于坐标轴上，另一个位于正方形四角，几何结构明显不同，却得到相同的 \((\hat\mu,\hat\Sigma)\)。因此任何 Gaussian 距离都给出 0。G-Rep 的统一性来自二阶矩压缩；其代价是 高阶形状、点顺序和多模态结构不可恢复。对只需一个整体 OBB 的任务这可能合适，对精确多边形边界则 应考虑 P2P 等直接几何方法。

七、从 NWD 到 RKA，以及二维公式怎样扩到三维

7.1 RKA 改的是标签分配，不是距离

到这里我们一直默认“预测框已经知道自己要逼近哪个真值”。训练中却要先决定这种对应关系。 特别是微小目标，固定 IoU 阈值可能把几乎所有候选都判为负样本。RKA 的做法不是重写距离，而是 对每个真值在候选里挑相对最好的若干个，让回归有可用的正样本。

原始 NWD 给任意水平框与 anchor 一个相似度

\[ S_{ij} =\exp\left[ -\frac1C \sqrt{ (x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2 +\frac{(w_i-w_j)^2}{4} +\frac{(h_i-h_j)^2}{4}} \right]. \tag{7.1} \]

NWD 的期刊扩展把它用于 Ranking-based Assignment（RKA）⁹。对第 \(g\) 个真值和 \(M\) 个候选 anchor，先计算

\[ \boldsymbol s_g=(S_{g1},\ldots,S_{gM}), \tag{7.2} \]

再取使分数从大到小排列的置换 \(\pi_g\)：

\[ S_{g,\pi_g(1)}\ge S_{g,\pi_g(2)}\ge\cdots\ge S_{g,\pi_g(M)}. \tag{7.3} \]

正样本集合定义为

\[ \boxed{\mathcal P_g=\{\pi_g(1),\ldots,\pi_g(k)\}.} \tag{7.4} \]

这里 \(1\le k\le M\)，并应为同分候选规定稳定的并列处理规则。与固定阈值 \(S_{gj}\ge t\) 相比， 式 (7.4) 为每个真值先选出相同数量 \(k\) 的正样本候选，避免微小目标因为 像素离散和极低 IoU 几乎没有正样本。由于指数函数严格单调递减，

\[ S_{ga}>S_{gb} \quad\Longleftrightarrow\quad W_2(B_g,A_a)<W_2(B_g,A_b), \tag{7.5} \]

所以在同一个 \(C>0\) 下，按 NWD 降序与按原始 \(W_2\) 升序完全等价；\(C\) 不改变 top-\(k\) 排名。 但 \(C\) 会改变把相似度直接放进 loss 或阈值判断时的数值。论文实验默认 \(k=2\)，这是超参数而非 Wasserstein 理论结论 ⁹。

候选同时进入多个 \(\mathcal P_g\) 时仍需检测框架的冲突消解规则；若每个候选最终只能归一个 真值，消解后的每个真值不一定还保留恰好 \(k\) 个正样本。RKA 说明同一个距离可以出现在 三个位置：回归 loss、标签分配和 NMS；三者的算法角色不能混写。

7.2 二维/三维 Gaussian 框的统一式

这一小节切换的是空间维数，不是继续改标签分配。二维框有两个主轴，三维框有三个；只要把 每条主轴的边长变成相应方差，再用合法旋转矩阵转到全局坐标，就能重复同一套 Gaussian 计算。

二维旋转框使用 \(R\in SO(2)\)。三维旋转框

\[ B=(\mu,w,h,l,R),\qquad R\in SO(3), \tag{7.6} \]

可同样编码为 ⁶¹⁰

\[ \boxed{ \Sigma =R\operatorname{diag}\left(\frac{w^2}{4},\frac{h^2}{4},\frac{l^2}{4}\right)R^\top. } \tag{7.7} \]

这里 \(SO(3)=\{R:R^\top R=I,\det R=1\}\)。正交相似变换保留特征值：

\[ \det(\lambda I-\Sigma) =\det[R(\lambda I-D)R^\top] =\det(\lambda I-D), \tag{7.8} \]

其中 \(D\) 是式 (7.7) 的对角矩阵，所以 \(\Sigma\) 的特征向量给方向，特征值平方根的两倍给边长。

这里“特征向量给方向”需要说明唯一性：特征值互不相同时，主轴方向可确定到符号和排列的 等价关系；重复特征值对应的子空间内可任意旋转，所以不能从协方差中唯一解出那些方向。 体积恢复式正是

\[ 8\sqrt{\det\Sigma} =8\sqrt{\frac{w^2h^2l^2}{4^3}}=whl. \tag{7.9} \]

Gaussian \(W_2\) 的一般闭式不随维数改变：

\[ W_2^2 =\|\mu_p-\mu_g\|^2 +\operatorname{Tr}\left[ \Sigma_p+\Sigma_g -2(\Sigma_g^{1/2}\Sigma_p\Sigma_g^{1/2})^{1/2} \right]. \tag{7.10} \]

KLD 也只需把二维中的常数 \(2\) 换成维数 \(d=3\)：

\[ D_{\rm KL}(P\|G) =\frac12\left[ \operatorname{Tr}(\Sigma_g^{-1}\Sigma_p) +\Delta\mu^\top\Sigma_g^{-1}\Delta\mu -3+\log\frac{|\Sigma_g|}{|\Sigma_p|} \right]. \tag{7.11} \]

真正困难的不是把 \(2\) 改成 \(3\)，而是三维旋转表示：Euler 角有奇异性与多重参数化，四元数有 \(q\) 与 \(-q\) 的二对一关系。若检测头先输出一个合法 \(R\) 或正定 \(\Sigma\)，式 (7.7)--(7.11) 才能 直接使用。KFIoU 和后续 2D/3D Gaussian 工作验证了这条扩展路线 ⁶¹⁰，但它仍继承各向同性物体 方向不可辨的基本限制。

八、换距离还不够：直接修改 Gaussian 表示与检测头

8.1 LGBB：把正定矩阵换成线性坐标

前面的方法大多先让检测头输出宽、高、角度，再把它们转成矩阵。本章反过来问：既然最后要比较 矩阵，能否直接预测矩阵的三个独立元素？困难在于，任意三个实数不一定构成合法协方差。 LGBB 尝试让表示更适合回归；GauCho 则从参数化本身保证正定。这是“怎么输出”的问题，不是 再换一个“怎么比较”的公式。

写二维对称 Gaussian 矩阵为

\[ G= \begin{bmatrix} g_1&g_2\\ g_2&g_3 \end{bmatrix}. \tag{8.1} \]

直接回归 \((g_1,g_2,g_3)\) 的困难是三个实数并不自动保证 \(G\succ0\)。LGBB 使用线性变换 ¹¹

\[ \begin{bmatrix}l_1\\l_2\\l_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2&0&1/2\\ 1&0&0\\ 1/2&1&1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}g_1\\g_2\\g_3\end{bmatrix}, \tag{8.2} \]

也就是

\[ l_1=\frac{g_1+g_3}{2},\qquad l_2=g_1,\qquad l_3=\frac{g_1+2g_2+g_3}{2}. \tag{8.3} \]

反变换逐步解得

\[ g_1=l_2, \tag{8.4} \]

\[ g_3=2l_1-g_1=2l_1-l_2, \tag{8.5} \]

\[ g_2=l_3-\frac{g_1+g_3}{2}=l_3-l_1. \tag{8.6} \]

所以

\[ \boxed{ G= \begin{bmatrix} l_2&l_3-l_1\\ l_3-l_1&2l_1-l_2 \end{bmatrix}. } \tag{8.7} \]

二维对称矩阵正定当且仅当首个顺序主子式与行列式为正：

\[ l_2>0,\qquad \boxed{\det G=l_2(2l_1-l_2)-(l_3-l_1)^2>0.} \tag{8.8} \]

论文的训练项把违反行列式约束的部分罚回去：

\[ L =\gamma_1L_{\rm reg}^{s} -\gamma_2\min\{ l_2(2l_1-l_2)-(l_3-l_1)^2,0 \}. \tag{8.9} \]

校正：软惩罚不等于正定保证。 式 (8.2) 只是可逆线性换坐标；式 (8.9) 的额外项只在行列式 为负时产生正惩罚，鼓励网络向合法区域移动，但并没有施加严格的可行域约束。行列式等于 0 时， 矩阵已经不可逆，该项却仍为 0；\(G=-I\) 的行列式为 1，该项也为 0，但它是负定矩阵。

因此，网络的其他激活或参数化还需保证 \(l_2>0\)，并妥善处理行列式接近 0 的情形。论文的损失项 应按其训练设计理解，不能只由这一项就推出“每次输出必然正定”。二维判据要求两个严格不等式 同时成立，这与“线性变换可以求逆”是两回事。

8.2 Structure Tensor：如何从三个矩阵元素解码角度

方向不一定非要由一个角度数值表示。也可以用一个椭圆状矩阵间接表示：它的长轴指向目标方向， 矩阵元素随方向连续变化。解码时再从矩阵求回主方向。接下来要回答两个问题：为什么公式里出现 \(2\theta\)，以及为什么必须先约定哪一个特征值较大。

结构张量方法写 ¹²

\[ T=R_\theta \begin{bmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{bmatrix} R_\theta^\top. \tag{8.10} \]

展开旋转乘法：

\[ T_{11}=\lambda_1\cos^2\theta+\lambda_2\sin^2\theta, \tag{8.11} \]

\[ T_{22}=\lambda_1\sin^2\theta+\lambda_2\cos^2\theta, \tag{8.12} \]

\[ T_{12}=(\lambda_1-\lambda_2)\sin\theta\cos\theta =\frac{\lambda_1-\lambda_2}{2}\sin2\theta. \tag{8.13} \]

两条对角线相减：

\[ T_{11}-T_{22} =(\lambda_1-\lambda_2)(\cos^2\theta-\sin^2\theta) =(\lambda_1-\lambda_2)\cos2\theta. \tag{8.14} \]

若约定 \(\lambda_1>\lambda_2\)，将式 (8.13)--(8.14) 看成半径为 \(\lambda_1-\lambda_2\)、极角为 \(2\theta\) 的二维向量，便得到

\[ \boxed{ \theta=\frac12\operatorname{atan2}(2T_{12},T_{11}-T_{22}) \pmod{\pi}. } \tag{8.15} \]

\(\operatorname{atan2}(y,x)\) 同时利用两个坐标的符号来确定象限；只算 \(\arctan(y/x)\) 会丢失 象限信息，而且在 \(x=0\) 时不能直接除。先解出 \(2\theta\) 再除以 2，意味着最后方向只确定到 \(\pi\) 周期，即一条无向轴，而不是带箭头的方向。

校正：仅写 \(\lambda_1\\ne\lambda_2\) 不够。 若实际 \(\lambda_1<\lambda_2\)，式 (8.15) 返回的是 \(\theta+\pi/2\pmod\pi\)，也就是第二条、更长的主轴，而非原定义的第一条轴。解码时 应先排列特征值并同时排列边长。原论文采用长边约定，正是为了统一这个选择 ¹²。

再求边长信息时，不必把特征值公式当成另一个黑箱。展开 \(\det(\lambda I-T)=0\)，得到 \(\lambda^2-(T_{11}+T_{22})\lambda+T_{11}T_{22}-T_{12}^2=0\)，应用一元二次方程求根公式即可。

特征值由二次方程得到：

\[ \boxed{ \lambda_{1,2} =\frac{T_{11}+T_{22}}2 \pm\frac12\sqrt{(T_{11}-T_{22})^2+4T_{12}^2}. } \tag{8.16} \]

当 \(\lambda_1=\lambda_2\) 时，式 (8.15) 的两个输入都为 0，角度不可定义，这再次证明第 1.4 节的 不可能性。常规形状张量取 \(\lambda_1=w/2,\lambda_2=h/2\)；论文为 square-like 目标人为采用

\[ \lambda_1=w,\qquad \lambda_2=h/2, \tag{8.17} \]

把正方形也变成 \(2:1\) 的各向异性张量，并在 \(|w-h|\le\varepsilon\) 时按 \(\pi/2\) 周期归一角度 ¹²。 式 (8.17) 保住了方向，但 \(T\) 不再是原矩形的真实二阶矩或原框等密度椭圆；这是表示设计， 不是统计估计。

8.3 GauCho：Cholesky 参数为什么始终给出正定矩阵

与其预测一个可能非法的对称矩阵后再惩罚，不如预测一个容易保持可逆的三角矩阵，再将它与自身 转置相乘。这样矩阵的正定性不是训练“学会”的，而是构造本身带来的。下面是二维情形 ¹³。

GauCho 不让检测头先输出 \((w,h,\theta)\)，而是直接输出 ¹³

\[ L= \begin{bmatrix} \alpha&0\\ \gamma&\beta \end{bmatrix}, \qquad \alpha,\beta>0,\quad\gamma\in\mathbb R. \tag{8.18} \]

令

\[ \boxed{ C=LL^\top =\begin{bmatrix} \alpha^2&\alpha\gamma\\ \alpha\gamma&\gamma^2+\beta^2 \end{bmatrix}. } \tag{8.19} \]

对任意非零 \(z\)，

\[ z^\top Cz=z^\top LL^\top z=\|L^\top z\|^2>0, \tag{8.20} \]

因为 \(\alpha\beta\ne0\) 使 \(L\) 可逆，故 \(L^\top z\ne0\)。所以 \(C\succ0\)。反过来，每个正定矩阵都 有唯一一个正对角线的 Cholesky 因子，因而式 (8.18) 与合法协方差之间是双射。

二维时还能直接写出反变换：

\[ \alpha=\sqrt{C_{11}},\qquad \gamma=\frac{C_{12}}{\alpha},\qquad \beta=\sqrt{C_{22}-\gamma^2} =\sqrt{\frac{\det C}{C_{11}}}. \tag{8.20a} \]

正定性保证两个根号内都为正，并由正号约定排除了多解。工程上可对两个未约束输出使用指数函数， 或 \(\operatorname{softplus}(z)=\log(1+e^z)\) 后再加正的小量，使对角线保持正数；这是合法参数化的 示例，具体模型的激活与尺度仍应以其实现为准。正定不等于数值状况一定良好：一条对角线过小 仍可能导致矩阵近乎奇异。

下文给参数界，是为了看懂三角因子的尺度如何由原矩阵的尺度控制。所谓 Rayleigh 商，就是 \(z^\top Cz/(z^\top z)\)；把 \(z\) 展开到特征向量基底后，它是特征值的加权平均，因此落在最小和 最大特征值之间。取 \(z=e_1=(1,0)^\top\)，就能得到对 \(\alpha\) 的界。

下面补全 GauCho 参数界。设 \(C\) 的特征值为 \(0<\lambda_{\min}\le\lambda_{\max}\)。Rayleigh 商给出

\[ \lambda_{\min}\le e_1^\top Ce_1=\alpha^2\le\lambda_{\max}, \tag{8.21} \]

于是

\[ \sqrt{\lambda_{\min}}\le\alpha\le\sqrt{\lambda_{\max}}. \tag{8.22} \]

又因为

\[ \det C=(\det L)^2=\alpha^2\beta^2 =\lambda_{\min}\lambda_{\max}, \tag{8.23} \]

有

\[ \beta^2=\frac{\lambda_{\min}\lambda_{\max}}{\alpha^2}. \tag{8.24} \]

把式 (8.21) 的上下界代入分母，得到

\[ \lambda_{\min}\le\beta^2\le\lambda_{\max}, \qquad \sqrt{\lambda_{\min}}\le\beta\le\sqrt{\lambda_{\max}}. \tag{8.25} \]

最后证明非对角参数的紧上界。写 \(a=\sqrt{\lambda_{\max}},b=\sqrt{\lambda_{\min}}\)，并把 \(C\) 特征分解为旋转角 \(\theta\)，则

\[ \alpha^2=a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta, \tag{8.26} \]

\[ \alpha\gamma=C_{12}=(a^2-b^2)\sin\theta\cos\theta. \tag{8.27} \]

我们要证明 \(|\gamma|\le a-b\)。先单独处理 \(a=b\)：此时式 (8.27) 给出 \(\gamma=0\)， 结论成立。以下设 \(a>b\)。将不等式平方，代入式 (8.26)--(8.27)，再除以正数 \((a-b)^2\)，便等价于

\[ (a+b)^2\sin^2\theta\cos^2\theta \le a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta. \tag{8.28} \]

右边减左边恰好是

\[ \begin{aligned} &a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta -(a+b)^2\sin^2\theta\cos^2\theta\\ &=(a\cos^2\theta-b\sin^2\theta)^2\ge0. \end{aligned} \tag{8.29} \]

故

\[ \boxed{ |\gamma|\le\sqrt{\lambda_{\max}}-\sqrt{\lambda_{\min}}. } \tag{8.30} \]

GauCho 解决的是检测头输出合法协方差和角度边界连续性；它可以搭配 GWD、KLD、ProbIoU 等多种 loss，本身不是一种新的 WD ¹³。

这里的双射是“三角因子与正定矩阵”之间的双射，不是“所有旋转框与正定矩阵”之间的双射。 正方形不同角度仍可能对应同一个矩阵，换成 Cholesky 参数并不能单独消除第 1.4 节的信息丢失。

8.4 人工各向异性表示能做什么，不能声称什么

Structure Tensor 与 2025 年 anisotropic GBB 都采用“故意打破各向同性”的思路 ¹²¹⁶。后者 对 square-like 框使用依赖 \(4\theta\) 的旋转与长宽扰动，使表示具有 \(\pi/2\) 周期而不对其他角度 恒等 ¹⁶。抽象写成

\[ \Sigma'(\theta) =R_{\phi(\theta)} \operatorname{diag}(a(\theta)^2,b(\theta)^2) R_{\phi(\theta)}^\top, \qquad a(\theta)\ne b(\theta), \tag{8.31} \]

两个特征值不同，意味着这个编码矩阵自身有可辨的主轴；按大小排列后可用式 (8.15) 解码。但要进一步辨认原始角 \(\theta\)，还必须保证整个映射随 \(\theta\) 变化，并在目标允许的 周期等价之外不把不同角度映为同一个矩阵。例如，固定两个不相等的特征值却完全不让矩阵随 \(\theta\) 变化，就仍然没有角度信息。因此“人为制造各向异性”提供了编码方向的可能性， 并不单独证明映射可逆，也不保证最终损失在所有错误角度处都有非零梯度。

但它有两点边界。第一，\(\Sigma'\) 不再是原矩形均匀分布的协方差，因而 Bhattacharyya 或 WD 比较的是“设计后的编码”，不是原区域的概率二阶矩。第二，该论文用大量随机三元组未发现反例来 支持某个后处理 loss 的三角不等式 ¹⁶；有限随机检验不是对无限连续空间的数学证明。本文只把其 当作实验观察，不升级为定理。

九、GCD：严格尺度不变，但不是数学度量

先用两个数字理解本章的动机：同样偏移 2 像素，对宽 4 像素的框是半个框宽，对宽 40 像素的框 只是二十分之一个框宽。NWD 的固定常数统一衡量像素距离；GCD 则想用框自身的宽高衡量相对偏差。 分别用预测框和真值框的尺度归一，再求平均，就能避免只偏向其中一方。

GCD 是对 NWD 固定像素常数 \(C\) 的后续批评：它使用预测框和目标框各自的尺度归一中心误差与形状 误差，再对两个方向求平均 ¹⁴。对水平框，论文给出的可直接计算标量式为

\[ \begin{aligned} D_{gc}^2 ={}&\frac12\left( \frac{\Delta x^2}{w_p^2} +\frac{\Delta y^2}{h_p^2}\right) +\frac12\left( \frac{(w_p-w_g)^2}{4w_p^2} +\frac{(h_p-h_g)^2}{4h_p^2}\right)\\ &+\frac12\left( \frac{\Delta x^2}{w_g^2} +\frac{\Delta y^2}{h_g^2}\right) +\frac12\left( \frac{(w_g-w_p)^2}{4w_g^2} +\frac{(h_g-h_p)^2}{4h_g^2}\right), \end{aligned} \tag{9.1} \]

其中 \(\Delta x=x_p-x_g,\Delta y=y_p-y_g\)。

可把式 (9.1) 读成“两次打分”：先用预测框的宽高作尺子，计算中心误差和半边长误差；再用真值框 的宽高作尺子，重复计算；最后平均。分母中的宽高必须严格为正。本文先讨论这个明确的水平框标量 定义，再单独检验哪些数学性质成立，避免因为名字里有 distance 就默认它是度量。

9.1 可以严格证明的三个性质

第一，每项都是正数分母上的平方，因此

\[ D_{gc}^2\ge0. \tag{9.2} \]

若 \(D_{gc}^2=0\)，所有平方项均为 0，于是 \(x_p=x_g,y_p=y_g,w_p=w_g,h_p=h_g\)；反向显然也成立。故它满足非负性与同一性。

第二，交换 \(p,g\) 只会交换式 (9.1) 第一、三项以及第二、四项，所以

\[ D_{gc}^2(B_p,B_g)=D_{gc}^2(B_g,B_p). \tag{9.3} \]

第三，对共同的正尺度变换

\[ (x,y,w,h)\longmapsto (sx,sy,sw,sh),\qquad s>0, \tag{9.4} \]

每个分子与分母都乘 \(s^2\)。例如

\[ \frac{(s\Delta x)^2}{(sw_p)^2} =\frac{\Delta x^2}{w_p^2}, \qquad \frac{(sw_p-sw_g)^2}{4(sw_p)^2} =\frac{(w_p-w_g)^2}{4w_p^2}. \tag{9.5} \]

故

\[ D_{gc}^2(sB_p,sB_g)=D_{gc}^2(B_p,B_g). \tag{9.6} \]

这是严格的共同尺度不变性；NWD 的 \(\exp[-W_2(B_p,B_g)/C]\) 在 \(C\) 固定时没有这个性质。

9.2 三角不等式反例

“非负、对称、尺度不变”仍不足以成为数学度量。固定中心与高度，只让宽度取正数 \(a,b\)。式 (9.1) 退化为

\[ D_{gc}^2(a,b) =\frac{(a-b)^2}{8}\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right), \tag{9.7} \]

因而若把 \(d(a,b)=\sqrt{D_{gc}^2(a,b)}\) 当距离，

\[ d(a,b) =\frac{|a-b|}{2\sqrt2} \sqrt{\frac1{a^2}+\frac1{b^2}}. \tag{9.8} \]

取 \(a=1,b=2,c=4\)：

\[ d(1,2)=d(2,4)=\frac{\sqrt5}{4\sqrt2}, \tag{9.9} \]

而

\[ d(1,4)=\frac{3\sqrt{17}}{8\sqrt2}. \tag{9.10} \]

比较平方前的正数即可：

\[ \frac{3\sqrt{17}}{8\sqrt2} >\frac{2\sqrt5}{4\sqrt2} \quad\Longleftrightarrow\quad 3\sqrt{17}>4\sqrt5 \quad\Longleftrightarrow\quad 153>80. \tag{9.11} \]

所以

\[ \boxed{d(1,4)>d(1,2)+d(2,4),} \tag{9.12} \]

违反三角不等式。GCD 可以是有用的检测 dissimilarity，但“metric”若按严格数学定义理解并不 成立。

9.3 一般仿射不变性论证的矩阵问题

共同可逆仿射变换下，Gaussian 协方差变成 \(\Sigma'=M\Sigma M^\top\)。KLD 和 Bhattacharyya 的不变性可通过逆矩阵与行列式严格证明；但不能 使用

\[ (M\Sigma M^\top)^{1/2} \stackrel{?}=M\Sigma^{1/2}M^\top. \tag{9.13} \]

最简单的反例取 \(\Sigma=I\)、\(M=\operatorname{diag}(2,1)\)：

\[ (MM^\top)^{1/2}=\operatorname{diag}(2,1), \tag{9.14} \]

而

\[ MI^{1/2}M^\top=\operatorname{diag}(4,1). \tag{9.15} \]

二者不等。只有额外条件下才能把主平方根这样移出合同变换。因此 GCD 论文一般矩阵式中的仿射证明 不能直接由式 (9.13) 得到 ¹⁴。这不否定已经由标量式严格证明的共同平移与尺度不变性，但必须 收窄结论范围。

十、P2P：不经 Gaussian，直接度量凸多边形

Polygon-to-Polygon Loss 代表另一条路线：旋转框先转成四个顶点，直接比较两个凸多边形 ¹⁵。 令

\[ A^n=(v_A^1,\ldots,v_A^n),\qquad B^m=(v_B^1,\ldots,v_B^m), \tag{10.1} \]

顶点按同一方向排列，\(E_B^j=(v_B^j,v_B^{j+1})\)，下标循环。

10.1 点到边的三角形面积

这里不再压缩成均值和协方差，而是保留每个顶点。点与一条边组成一个三角形，其面积就是“边长 乘点到边所在直线的距离再除以 2”。对多边形的所有边求和后，点在内部时这些三角形恰好铺满 多边形；点在外部时，无向面积和会多出一块。这就是下面外部偏离量的几何来源。

本节要求两个多边形都是面积为正的凸多边形，顶点沿边界按同一旋转方向排列。若预测顶点 自交、无序，或者直接套在非凸多边形上，后面的内外判定证明就不再适用。

二维向量叉积定义为

\[ u\times v=u_xv_y-u_yv_x. \tag{10.2} \]

点 \(p\) 与边 \((q_j,q_{j+1})\) 构成的无向三角形面积为

\[ S_\triangle(p,E_B^j) =\frac12\left| (q_j-p)\times(q_{j+1}-p) \right|. \tag{10.3} \]

把它对 \(B\) 的所有边求和：

\[ S_{VP}(p,E_B) =\sum_{j=1}^mS_\triangle(p,E_B^j). \tag{10.4} \]

为什么这个量能判断点是否在凸多边形内？先去掉绝对值，利用叉积双线性：

\[ \begin{aligned} \sum_j(q_j-p)\times(q_{j+1}-p) &=\sum_j[q_j\times q_{j+1}-q_j\times p-p\times q_{j+1}]\\ &=\sum_jq_j\times q_{j+1}, \end{aligned} \tag{10.5} \]

因为两个含 \(p\) 的循环和相消。右边的一半绝对值正是鞋带公式给出的 \(S_B\)。若 \(p\) 在凸多边形 内部，所有有向三角形符号一致，绝对值不改变总和，所以

\[ S_{VP}(p,E_B)=S_B. \tag{10.6} \]

若 \(p\) 在外部，至少有一条边对应的有向面积符号相反。由严格三角不等式 \(\sum|a_j|>|\sum a_j|\)，得到

\[ S_{VP}(p,E_B)>S_B. \tag{10.7} \]

因此 \(S_{VP}-S_B\) 是非负的凸多边形外部偏离量。

10.2 从顶点到对称多边形 loss

对 \(A\) 的每个顶点累加：

\[ S_{PP}(A^n,B^m) =\sum_{i=1}^nS_{VP}(v_A^i,E_B). \tag{10.8} \]

单向平均偏离为

\[ \frac1nS_{PP}(A^n,B^m)-S_B\ge0. \tag{10.9} \]

为了避免只检查 \(A\) 的顶点是否在 \(B\) 内，再加反方向：

\[ \boxed{ \begin{aligned} d(A^n,B^m) ={}&\left[\frac1nS_{PP}(A^n,B^m)-S_B\right]\\ &+\left[\frac1mS_{PP}(B^m,A^n)-S_A\right]. \end{aligned} } \tag{10.10} \]

式 (10.10) 显然非负且交换 \(A,B\) 不变。对相同凸多边形，每个顶点都在另一个多边形边界上， 所以 \(d=0\)。论文再用总面积消除共同尺度：

\[ \boxed{ L'_{\rm P2P} =\frac{d(A^4,B^4)}{S_A+S_B}. } \tag{10.11} \]

共同放大 \(s\) 倍时，所有三角形和多边形面积都乘 \(s^2\)，所以式 (10.11) 不变。最终损失为

\[ L_{\rm P2P} =\alpha L_c+\beta L_{sp}+\gamma L'_{\rm P2P}, \tag{10.12} \]

其中另两个项控制中心与形状 ¹⁵。式 (10.11) 的尺度不变性针对归一化多边形项，整个 式 (10.12) 是否尺度不变还取决于 \(L_c,L_{sp}\) 的定义与坐标归一，不能仅从其中一项推出。

校正：要区分分段线性函数与它的梯度。 固定边的两个端点，只让 \(p\) 变化时，叉积展开后 是关于 \(p\) 的仿射函数，取绝对值后是分段仿射函数；其对 \(p\) 的梯度在每个符号区域内为常数。 若两个多边形的顶点同时变化，则出现双线性项；再除以可变面积，最终损失一般只是分段光滑， 并不是统一的“分段线性梯度”。绝对值在符号切换处需要次梯度或实现中选定的求导约定。

在本节的凸性条件下，式 (10.10) 为 0 还意味着 \(A\) 的所有顶点在 \(B\) 中，且反向也成立， 所以两个凸区域相同。这不要求顶点起始编号相同。P2P 保留顶点几何，能比较正方形旋转后真实 边界的变化；但它不会把相差 \(\pi/2\) 的同一个正方形区域视为不同的有向物体。

十一、总结：把全部方法放回同一坐标系

11.1 数学对象与性质总表

方法	比较对象	对称	共同尺度不变	正方形角度可辨	是否严格度量
原始 Gaussian \(W_2\) 1	两个整框 Gaussian	是	否	否	对分布是；不含后处理
NWD 2	\(W_2\) 的指数归一	是	固定 \(C\) 时否	HBB 不涉及	否，属相似度
EWD 3	对应边支撑分布	是，含循环最小化后	论文另归一	是，模 \(\pi/2\)	通常不是
KLD 4	两个整框 Gaussian	否	是	否	否
ProbIoU 5	\(1-H\) 概率相似度	是	是	否	相似度不是度量；\(H\) 才是
KFIoU 6	Gaussian 乘积体积	是	是	否	否
MKIoU 7	调制后的协方差体积比	是	是	否	否
MKIoU+GA，不含中心项 7	调制乘积加目标侧角度门控	一般否	是	是，模 \(\pi/2\)	否
G-Rep 8	点集的经验矩 Gaussian	取决于所选距离	取决于所选距离	各向同性时否	对点集不是；对分布另看所选距离
GCD 14	双向相对中心/形状误差	是	是	HBB 不涉及	否，式 (9.12)
P2P 归一化几何项 15	两个凸多边形	是	是	是，模 \(\pi/2\)	未证明为度量

表中的“\(W_2\) 是度量”只针对 Gaussian 概率分布本身。论文再施加 \(1-1/(\tau+f(W_2^2))\) 后，是否保留三角不等式需要另证，不能从原始 \(W_2\) 自动继承。

表中每一行都要按“比较对象”一列的范围阅读：\(W_2^2\) 与 \(W_2\) 不同，基础量与最终总损失也 不同。MKIoU+GA 和 P2P 行未把未归一的中心损失包含在内；若加入这些项，需重新检查整体尺度 性质。对分布的度量经非单射的框或点集编码拉回后，至多先得到允许不同原对象距离为零的 伪度量，不能直接宣称是原始几何对象上的严格度量。

“正方形角度可辨”表示能辨认旋转后区域形状确实不同的情况。相差 \(\pi/2\) 的正方形本来 就是同一个区域；仅凭框几何不能区分它的朝前、朝后等完整语义方向。这些任务需要额外的有向 标注或信息，不能仅更换框距离。

11.2 面向检测任务的选择结论

1. 普通水平框，尤其微小目标：NWD 最简洁，水平闭式就是 \((x,y,w/2,h/2)\) 的欧氏距离；若主要问题是正样本太少，应关注 RKA，而不只是替换回归 loss ²⁹。
2. 细长旋转框：GWD、KLD、ProbIoU 都能联合耦合长宽与角度。GWD 有像素单位且远处仍有 比较信号；KLD/ProbIoU 具有共同 Gaussian 仿射变换下的不变性，但权重与饱和行为不同。 原始 \(W_2^2\) 的形状项不依赖中心距离，最终 GWD 后处理仍可能压缩远处梯度，不能一概说 “距离远就一定有很强梯度” ¹⁴⁵。
3. 需要辨认正方形旋转后的边界差异：任何仅依赖整框二阶矩的 loss 都不可能解决。 必须增加边、顶点、 显式角度项或人工各向异性表示，如 EWD、MKIoU+GA、P2P、Structure Tensor ³⁷¹²¹⁵。
4. 圆形或本来无方向的类别：强行恢复角度可能反而让标注不自洽。GauCho 的 Gaussian/OE 观点提醒我们先问“任务是否真的有可观察方向”，再决定是否惩罚各向同性 ¹³。
5. 标签分配：第 7.1 节的 NWD-RKA 用相似度排序选择正样本，改变的是哪些预测参与回归。 因此应把分配策略与回归 loss 分开验证，不能把整体检测收益全部归因于距离公式 ⁹。

最重要的判断顺序不是先挑一个流行的 loss，而是：

\[ \boxed{ \text{任务需要保留的信息} \longrightarrow \text{表示是否可辨} \longrightarrow \text{基础距离的性质} \longrightarrow \text{后处理与分配策略}. } \tag{11.1} \]

若表示层已经把角度压没，后面无论换多少种 Gaussian 距离都无法恢复；若基础距离有量纲，外部归一化就会成为数据集相关超参数；若最终目的其实是分配，单框回归距离的性质也不等于全局匹配的性质。

参考文献

---

1. Xue Yang, Junchi Yan, Qi Ming, Wentao Wang, Xiaopeng Zhang, and Qi Tian. “Rethinking Rotated Object Detection with Gaussian Wasserstein Distance Loss.” Proceedings of ICML, 2021. arXiv:2101.11952v4. ↩↩↩↩↩↩

2. Jinwang Wang, Chang Xu, Wen Yang, and Lei Yu. “A Normalized Gaussian Wasserstein Distance for Tiny Object Detection.” 2021. arXiv:2110.13389v2. ↩↩↩↩↩↩

3. Yuke Zhu, Yumeng Ruan, Zihua Xiong, and Sheng Guo. “Edge Wasserstein Distance Loss for Oriented Object Detection.” 2023. arXiv:2312.07048v1. ↩↩↩↩↩↩

4. Xue Yang, Xiaojiang Yang, Jirui Yang, Qi Ming, Wentao Wang, Qi Tian, and Junchi Yan. “Learning High-Precision Bounding Box for Rotated Object Detection via Kullback-Leibler Divergence.” NeurIPS, 2021. arXiv:2106.01883. ↩↩↩↩↩↩↩↩

5. Jeffri M. Llerena, Luis Felipe Zeni, Lucas N. Kristen, and Claudio Jung. “Gaussian Bounding Boxes and Probabilistic Intersection-over-Union for Object Detection.” IEEE Transactions on Image Processing, 2024. arXiv:2106.06072. ↩↩↩↩↩↩↩↩

6. Xue Yang, Yue Zhou, Gefan Zhang, Jirui Yang, Wentao Wang, Junchi Yan, Xiaopeng Zhang, and Qi Tian. “The KFIoU Loss for Rotated Object Detection.” ICLR, 2023. arXiv:2201.12558. ↩↩↩↩↩↩↩↩

7. Xinyi Yu, Jiangping Lu, Mi Lin, and Linlin Ou. “MKIoU Loss: Towards Accurate Oriented Object Detection in Aerial Images.” 2022. arXiv:2206.15109. ↩↩↩↩↩↩↩↩

8. Liping Hou, Ke Lu, Xue Yang, Yuqiu Li, and Jian Xue. “G-Rep: Gaussian Representation for Arbitrary-Oriented Object Detection.” Remote Sensing, 2023. arXiv:2205.11796. ↩↩↩↩

9. Chang Xu, Jinwang Wang, Wen Yang, Huai Yu, Lei Yu, and Gui-Song Xia. “Detecting Tiny Objects in Aerial Images: A Normalized Wasserstein Distance and a New Benchmark.” ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 2022. arXiv:2206.13996. ↩↩↩↩↩

10. Xue Yang, Gefan Zhang, Xiaojiang Yang, Yue Zhou, Wentao Wang, Jin Tang, Tao He, and Junchi Yan. “Detecting Rotated Objects as Gaussian Distributions and Its 3-D Generalization.” 2022. arXiv:2209.10839. ↩↩

11. Zhen Zhou, Yunkai Ma, Junfeng Fan, Zhaoyang Liu, Fengshui Jing, and Min Tan. “Linear Gaussian Bounding Box Representation and Ring-Shaped Rotated Convolution for Oriented Object Detection.” 2023. arXiv:2311.05410. ↩↩

12. Xavier Bou, Gabriele Facciolo, Rafael Grompone von Gioi, Jean-Michel Morel, and Thibaud Ehret. “Structure Tensor Representation for Robust Oriented Object Detection.” 2024. arXiv:2411.10497. ↩↩↩↩↩↩↩

13. Jeffri Murrugarra-Llerena, Jose Henrique Lima Marques, and Claudio R. Jung. “GauCho: Gaussian Distributions with Cholesky Decomposition for Oriented Object Detection.” CVPR, 2025. arXiv:2502.01565. ↩↩↩↩↩

14. Ziqian Guan, Xieyi Fu, Pengjun Huang, Hengyuan Zhang, Hubin Du, Yongtao Liu, Yinglin Wang, and Qang Ma. “Gaussian Combined Distance: A Generic Metric for Object Detection.” 2025. arXiv:2510.27649. ↩↩↩↩

15. Yang Yang, Jifeng Chen, Xiaopin Zhong, and Yuanlong Deng. “Polygon-to-Polygon Distance Loss for Rotated Object Detection.” Proceedings of AAAI, 36(3), 2022. DOI:10.1609/aaai.v36i3.20214. ↩↩↩↩↩

16. Chien Thai, Mai Xuan Trang, Huong Ninh, Hoang Hiep Ly, and Anh Son Le. “Enhancing Rotated Object Detection via Anisotropic Gaussian Bounding Box and Bhattacharyya Distance.” 2025. arXiv:2510.16445. ↩↩↩↩

17. Solomon Kullback and Richard A. Leibler. “On Information and Sufficiency.” The Annals of Mathematical Statistics, 22(1):79--86, 1951. DOI:10.1214/aoms/1177729694. ↩

18. Anil Kumar Bhattacharyya. “On a Measure of Divergence between Two Statistical Populations Defined by Their Probability Distributions.” Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 35:99--109, 1943. ↩

评论

加载评论 滚动到评论区附近时自动加载